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항공우주/항공역학

Navier-Stokes 방정식 - 2

by 세인트워터멜론 2021. 8. 10.

Navier-Stokes 방정식은 비선형 연립 편미분 방정식으로서 이 방정식의 해가 항상 존재하는지 여부도 아직 증명되지 않은 밀레니엄 문제 7개 중의 하나로 꼽힌다. 극히 단순한 경우를 제외하고는 해석적인 해가 존재하지 않을 뿐만 아니라, 수치해(numerical solution) 마저 구하기가 매우 어렵다.

 

 

물리기반 기계학습(physics-informed machine learning)이나 바람농장(wind farm)등에서는 유동의 속도가 음속보다 작은 영역을 다루므로 비압축성(incompressible) 가정이 성립한다. 그러면 밀도 \(\rho\) 는 상수이므로 연속 방정식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \tag{1} \]

 

식 (1)을 이용하면 Navier-Stokes 방정식에서 \(x\) 축 성분은 다음과 같이 간략화된다.

 

\[ \begin{align} \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla u \right) &= -\frac{\partial p}{\partial x} + 2 \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial }{\partial y} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \tag{2} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ +\mu \frac{\partial }{\partial z} \left( \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} \right) + \rho f_x \\ \\ &= -\frac{\partial p}{\partial x} + 2 \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} +\mu \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial w}{\partial z} \right) + \rho f_x \\ \\ &= -\frac{\partial p}{\partial x} + 2 \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2 } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \mu \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \right) + \rho f_x \\ \\ &= -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2 } + \rho f_x \end{align} \]

 

비슷한 방법으로 \(y, z\) 축 성분을 계산하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla v \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \frac{\partial^2 v}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 v}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial^2 v}{\partial z^2 } + \rho f_y \tag{3} \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot \nabla w \right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2 } + \mu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2 } + \mu \frac{\partial^2 w}{\partial z^2 } + \rho f_z \end{align} \]

 

식 (2)와 (3)을 벡터 형식으로 바꿔 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{V} + \rho \ \mathbf{f} \tag{4} \]

 

식 (4)는 비압축성 유동의 Navier-Stokes 방정식이다.

 

 

만약 비압축성, 비점성 유체라면 식이 더 간단해진다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V} \right) = -\nabla p + \rho \ \mathbf{f} \tag{5} \]

 

위 식을 오일러 방정식(Euler's equation)이라고 한다.

더 나아가 유동이 비압축성, 비점성에 정상상태(속도가 위치만의 함수인 경우)이고 체적력이 보존력(conservative force)이라면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \rho (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V} = -\nabla p - \rho \nabla U \tag{6} \]

 

여기서 \(U\) 는 포텐셜 에너지(potential energy) 함수다. 위 식을 정리하면,

 

\[ \nabla \left( \frac{1}{2} \rho (\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} ) + p + \rho U \right) = 0 \tag{7} \]

 

이 되고, 보존력이 중력이라면 다음 식이 성립한다.

 

\[ \frac{1}{2} \rho V^2 + p + \rho gh = const \tag{8} \]

 

여기서 \(g\) 는 중력 가속도이고 \(h\) 는 기준선에서의 높이다.

 

 

식 (8)을 베르누이 방정식(Bernoulli's equation)이라고 한다.

 

 

 

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