연속 방정식 (continuity equation)

공력(aerodynamic forces)의 측정과 예측을 위해서는 유동장(flow field)에 대한 지식이 필요하다.

 

 

유동장은 압력, 밀도, 온도, 속도 등4개의 파라미터로 정의할 수 있는데 모두 위치와 시간의 함수이다. 이와 관련된 지배 방정식은 연속 방정식, Navier-Stokes 방정식, 에너지 방정식이며 각각은 질량 보존 법칙, 뉴톤 제2법칙, 그리고 에너지 보존 법칙으로부터 유도할 수 있다.

먼저 연속 방정식(continuity equation)을 유도해보자. 공간상에 고정된 위치에 있는 미소(infinitesimal) 체적이 있다고 가정한다. 질량 보존의 법칙에 의하면 이 미소체적에서 빠져나가는 유량과 들어오는 유량의 차이는 미소체적 내부의 공기 질량의 감소량과 같아야 한다.

 

 

위 그림에서 \(x\) 축의 두 개 미소면적을 통하여 단위 시간당 미소체적에서 빠져나가는 유량과 들어오는 유량의 차이는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \left( \rho u +\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} dx \right) dydz - \rho u \ dydz = \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} dx (dydz) \]

 

6개의 미소면적 전체에서 이 유량의 차이를 계산하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \mbox{net mass flow} &= \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} dx (dydz) + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} dy (dxdz) + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} dz (dxdy) \\ \\ & = \left( \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right) dxdydz \end{align} \]

 

여기서 \(dx, dy, dz\) 는 미소체적 \(x, y, z\) 축 변의 길이이며 \(\rho\) 는 밀도, \(u, v, w\) 는 유동의 속도벡터 \(\mathbf{V}\) 의 \(x, y, z\) 축 성분이다.

한편 시간당 미소체적 내부의 공기 질량의 감소량 또는 질량 감소율은 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \mbox{time rate of decrease of mass} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} dxdydz \]

 

위 식에서 마이너스(\(-\))가 붙은 이유는 감소율을 계산하기 때문이다.

이제 두 식이 같아야 하므로

 

\[ \left( \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right) dxdydz = - \frac{\partial \rho}{\partial t} dxdydz \]

 

이 되고, 이로부터 다음과 같은 연속 방정식이 유도된다.

 

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} = 0 \]

 

연속 방정식은 유동의 속도벡터를 이용해서 다음과 같이 표현할 수도 있다.

 

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{V} )=0 \]

 

여기서 \(\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j}+ \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{k}\) 이다.

비압축성(incompressible) 유동에서는 공기 밀도 \(\rho\) 의 변화를 무시할 수 있으므로 연속 방정식은 다음과 같이 간략화 된다.

 

\[ \nabla \cdot \mathbf{V} =0 \]