연속 방정식 (continuity equation)

공력(aerodynamic forces)의 측정과 예측을 위해서는 유동장(flow field)에 대한 지식이 필요하다.

 

 

유동장은 압력, 밀도, 온도, 속도 등4개의 파라미터로 정의할 수 있는데 모두 위치와 시간의 함수이다. 이와 관련된 지배 방정식은 연속 방정식, Navier-Stokes 방정식, 에너지 방정식이며 각각은 질량 보존 법칙, 뉴톤 제2법칙, 그리고 에너지 보존 법칙으로부터 유도할 수 있다.

먼저 연속 방정식(continuity equation)을 유도해보자. 공간상에 고정된 위치에 있는 미소(infinitesimal) 체적이 있다고 가정한다. 질량 보존의 법칙에 의하면 이 미소체적에서 빠져나가는 유량과 들어오는 유량의 차이는 미소체적 내부의 공기 질량의 감소량과 같아야 한다.

 

 

위 그림에서 $x$ 축의 두 개 미소면적을 통하여 단위 시간당 미소체적에서 빠져나가는 유량과 들어오는 유량의 차이는 다음과 같이 계산된다.

 

$$(\rho u+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}dx)dydz-\rho udydz=\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}dx(dydz)$$

 

6개의 미소면적 전체에서 이 유량의 차이를 계산하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}\text{net mass flow}& =\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}dx(dydz)+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}dy(dxdz)+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z}dz(dxdy)\\ \\ & =(\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z})dxdydz\end{array}$$

 

여기서 $dx,dy,dz$ 는 미소체적 $x,y,z$ 축 변의 길이이며 $\rho$ 는 밀도, $u,v,w$ 는 유동의 속도벡터 $\mathbf{V}$ 의 $x,y,z$ 축 성분이다.

한편 시간당 미소체적 내부의 공기 질량의 감소량 또는 질량 감소율은 다음과 같이 계산된다.

 

$$\text{time rate of decrease of mass}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}dxdydz$$

 

위 식에서 마이너스($-$)가 붙은 이유는 감소율을 계산하기 때문이다.

이제 두 식이 같아야 하므로

 

$$(\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z})dxdydz=-\frac{\partial \rho }{\partial t}dxdydz$$

 

이 되고, 이로부터 다음과 같은 연속 방정식이 유도된다.

 

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z}=0$$

 

연속 방정식은 유동의 속도벡터를 이용해서 다음과 같이 표현할 수도 있다.

 

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \mathbf{V})=0$$

 

여기서 $\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{k}$ 이다.

비압축성(incompressible) 유동에서는 공기 밀도 $\rho$ 의 변화를 무시할 수 있으므로 연속 방정식은 다음과 같이 간략화 된다.

 

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V}=0$$