유동장의 시간미분에 대해서

유동장(flow field)은 압력, 밀도, 온도, 속도 등 4개의 파라미터로 정의할 수 있는데 모두 위치와 시간의 함수이다.

 

 

예를 들면 밀도는 기준 좌표계에서의 위치 \((x,y,z)\) 와 함께 시간 \(t\) 의 함수로 주어진다.

 

\[ \rho = \rho (x,y,z,t) \tag{1} \]

 

따라서 어떤 파라미터를 시간으로 미분할 경우 두 종류의 도함수(derivative)가 나온다. 바로 \(d/dt\) 와 \(\partial /\partial t\) 이다. 두 시간미분의 물리적인 의미를 알아보자.

아래 그림과 같이 어떤 유동장에서 운동하는 유체요소(fluid element)를 생각해보자.

 

 

시간 \(t_1\) 일 때 이 유체요소는 위치 \((x_1,y_1,z_1)\) 에 있다고 하자. 그러면 이 유체요소의 속도벡터는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \mathbf{V}_1= \mathbf{V} (x_1,y_1,z_1,t_1) \tag{2} \]

 

시간이 경과하여 시간 \(t_2\) 에서 이 유체요소는 위치 \((x_2,y_2,z_2)\) 로 이동했다고 하자. 그러면 속도벡터는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \mathbf{V}_2 = \mathbf{V} (x_2,y_2,z_2,t_2) \tag{3} \]

 

속도벡터는 위치와 시간의 함수이므로 식 (3)을 위치 \((x_1,y_1,z_1)\) 와 시간 \(t_1\) 을 기준으로 테일러(Taylor) 시리즈로 전개하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{V}_2 &= \mathbf{V}_1+ \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x} \right)_1 (x_2-x_1 ) +\left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y} \right)_1 (y_2-y_1 ) \tag {4} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z} \right)_1 (z_2-z_1 ) + \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} \right)_1 (t_2-t_1 ) + ⋯ \end{align} \]

 

식 (4)의 양변을 \(t_2-t_1\) 으로 나누면 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \frac{\mathbf{V}_2 - \mathbf{V}_1}{t_2-t_1} &= \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x} \right)_1 \left( \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \right) +\left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y} \right)_1 \left( \frac{y_2-y_1}{t_2-t_1} \right) \tag {5} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z} \right)_1 \left( \frac{z_2-z_1}{t_2-t_1} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} \right)_1 \end{align} \]

 

여기서 고차항은 무시했다. 이제 위 식의 양변에 극한 시간 \(t_2 \to t_1\) 을 취한다.

 

\[ \begin{align} \lim_{t_2 \to t_1} \frac{\mathbf{V}_2 - \mathbf{V}_1}{t_2-t_1} &= \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x} \right)_1 \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \right) +\left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y} \right)_1 \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{y_2-y_1}{t_2-t_1} \right) \tag {5} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z} \right)_1 \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{z_2-z_1}{t_2-t_1} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} \right)_1 \end{align} \]

 

식 (6)의 왼쪽항은 유체요소가 공간상을 운동하며 위치 \(1\) 을 통과할 때 속도의 순간적인 시간 변화율을 나타내는 것으로서, 미분의 정의대로 다음과 같이 표기할 수 있다.

 

\[ \frac{d\mathbf{V}}{dt} = \lim_{t_2 \to t_1} \frac{\mathbf{V}_2 - \mathbf{V}_1}{t_2-t_1} \tag{7} \]

 

식 (6)의 오른쪽에서 마지막 항 \( \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} \right)_1\) 은 고정된 위치 \(1\) 에서의 속도의 시간 변화율을 나타낸다.

두 개는 물리적으로 서로 다른 양이다. 만약 관찰자가 유체요소의 운동을 계속 따라가며 관찰한다고 할 때, 유체요소가 위치 \(1\) 을 통과하면서 속도가 바뀌는 양은 \(\frac{d \mathbf{V}}{dt}\) 에 해당한다. 반면에 관찰자가 유체요소 대신에 고정된 위치 \(1\) 을 관찰한다고 하면, 유동장의 일시적인 변동으로 인해 생기는 속도의 변화는 \( \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} \right)_1\) 에 해당한다.

전자와 같이 특정 유체요소를 따라가며 유체요소의 변화를 관찰하는 접근방법을 라그랑지 방법(Lagrangian method)이라고 하고, 후자와 같이 고정된 점에서 유동장의 변화를 관찰하는 방법을 오일러 방법(Eulerian method)이라고 한다.

식 (6)에서 미분의 정의에 의하면 속도벡터의 각 축 성분은 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & u= \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \right) \tag{8} \\ \\ & v= \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{y_2-y_1}{t_2-t_1} \right) \\ \\ & w= \lim_{t_2 \to t_1} \left( \frac{z_2-z_1}{t_2-t_1} \right) \end{align} \]

 

식 (7)과 (8)을 이용하면 식 (6)은 다음과 같이 일반적인 형태로 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} \frac{d \mathbf{V}}{dt} &= \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x} u + \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y} v + \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z} w + \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} \tag{9} \\ \\ &= (\mathbf{V} \cdot \nabla ) \mathbf{V} + \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} \end{align} \]

 

식 (9)는 속도벡터 뿐만 아니라 유동장의 모든 파라미터에도 적용되므로 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.

 

\[ \frac{d }{dt} = (\mathbf{V} \cdot \nabla ) + \frac{\partial }{\partial t} \tag{10} \]

 

식 (10)에서 \(\frac{d}{dt}\) 를 물질미분(material derivative), 라그랑지 미분(Lagrange derivative) 또는 실질미분(substantial derivative)이라고 한다. 이 미분은 운동하는 유체요소의 총 시간 변화율을 나타낸다.

\(( \mathbf{V} \cdot \nabla )\) 는 대류미분(convective derivative)이라고 하는데, 유체요소가 다른 한 위치에서 다른 위치로 이동하면서 생기는 시간 변화율을 나타낸다.

\(\frac{ \partial}{\partial t} \) 는 로컬미분(local derivative)이라고 하며 어떤 고정된 위치에서의 시간 변화율을 나타낸다.