쌍곡선 궤도의 기하학

이체문제 가정하에서 우주비행체가 가질 수 있는 궤도의 모양은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다 (https://pasus.tistory.com/171). 이 중에서 포물선과 쌍곡선 궤도를 열린 궤도라고 하는데 이 궤도를 취해야 이체문제의 중심 질점으로부터 무한대 거리까지 비행할 수 있기 때문이다 (https://pasus.tistory.com/173).

우주비행체가 포물선 궤도를 따를 경우 무한대의 거리에서는 속도가 \(0\) 이지만, 쌍곡선 궤도를 따를 경우에는 무한대의 거리에서 속도가 \(v_\infty= \sqrt{2 \mathcal{E}}\) 로서 유한한 값을 갖는다. 여기서 \(\mathcal{E}\) 는 궤도의 역학적 에너지이다.

현실적으로 행성 또는 천체의 중심에서 거리가 무한대인 지점으로 볼 수 있는 위치는 중력 영향권 경계이다 (https://pasus.tistory.com/320). 따라서 이 경계를 통과하여 더 멀리 비행하기 위해서는 쌍곡선 궤도를 따라 중력 영향권 경계로 비행해야 한다. 이체궤도 연결 근사법(patched conic approximation)은 행성이나 다른 천체로의 비행 탄도 궤적을 빠르게 추정하는 방법이다. 우주비행체의 비행단계를 우주비행체에 미치는 인근 행성이나 천체의 상대적인 중력 크기에 따라 세 개의 영역으로 나누어서 각 영역에서 중력이 우세한 행성이나 천체를 기준으로 이체 운동방정식을 적용한다. 이체 운동방정식은 각 영역을 근사화하기에 충분하기 때문이다.

예를 들어서 지구-화성 비행 궤도를 고려할 때, 비행 단계는 지구 출발, 지구에서 화성으로의 태양 중심 이동, 화성 도착 등으로 영역을 나눈다. 이때 행성을 출발하거나 목표 행성에 접근하는 우주비행체는 이체 궤도 중에서 쌍곡선 궤도에 놓이게 된다.

고전 궤도요소(https://pasus.tistory.com/286)는 행성이나 다른 천체로의 비행 중 쌍곡선 궤도를 설명하는 데 충분하지 않으므로 추가적인 파라미터가 필요하다. 다음 그림에 궤도 평면에서 쌍곡선 궤도의 기하학적 파라미터가 나와 있다.

 

 

쌍곡선 초과속도(hyperbolic excess velocity, \(v_\infty\))는 우주비행체가 무한대에서 가질 수 있는 속도로서 중력 경계면을 통과할 때의 속도다. 이 값의 제곱을 특성 에너지(characteristic energy)라고 하고 \(C_3\) 로 표시한다.

 

\[ \begin{align} C_3=v_\infty^2 \tag{1} \end{align} \]

 

\(C_3\) 는 행성 간 임무에 필요한 에너지의 척도이며, 발사체가 우주비행체에 전달할 수 있는 최대 에너지의 척도이기도 하다.

행성 또는 천체의 중심에서 우주비행체까지의 거리가 무한대에 가까워질 때의 실제비행각(true anomaly)을 \(\theta_\infty\) 라고 하면 이 각은 다음과 같이 궤적 방정식으로부터,

 

\[ \begin{align} r= \frac{h^2}{\mu} \frac{1}{1+e \cos \theta} \tag{2} \end{align} \]

 

\(r \to \infty \) 일 떄 극한을 취해서 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \theta_\infty = \cos^{-1} \left( - \frac{1}{e} \right) \tag{3} \end{align} \]

 

\(\theta_\infty\) 는 쌍곡선 궤도의 점근선(asymptote)의 각도이기도 하다. 우주비행체는 무한대의 거리에서 점근선을 따라 속도 \(v_\infty\) 로 행성이나 천체의 중력 영향권으로 진입하거나 진출한다.

그림에서 점근선의 또다른 각도 \(\beta\) 는 \(\beta= \pi- \theta_\infty \) 이므로 \(\cos \beta = - \cos \theta_\infty \) 이 성립하게 때문에, 식 (3)으로 부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \beta= \cos^{-1} \left( \frac{1}{e} \right) \tag{4} \end{align} \]

 

회전각(turn angle) \(\delta\) 는 진입(incoming) 점근선과 진출(outgoing) 점근선 사이의 각도로서 우주비행체가 행성이나 천체를 통과하면서 바뀌는 운동 방향각이다. 그림으로부터 \( \delta= \pi- 2\beta \) 이므로

 

\[ \begin{align} \sin \frac{\delta}{2} &= \sin \left( \frac{\pi- 2\beta}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2}- \beta \right) \tag{5} \\ \\ &= \cos \beta = \frac{1}{e} \end{align} \]

 

가 성립하기 떄문에 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \delta = 2 \sin^{-1} \left( \frac{1}{e} \right) \tag{6} \end{align} \]

 

식 (6)에 의하면 이심율 \(e\) 가 클수록 \(\delta\) 가 작아지므로 우주비행체의 운동 방향이 많이 바뀌지 않는다는 것을 알 수 있다.

근지점 \(r_p\) 는 식 (2)에서 \(\theta=0\) 일 때의 거리이므로 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} r_p= \frac{h^2}{\mu} \frac{1}{1+e} \tag{7} \end{align} \]

 

근지점 \(r_p\) 는 장반경과 이심율로 계산할 수도 있다 (https://pasus.tistory.com/173).

 

\[ \begin{align} r_p=a(1-e) \tag{8} \end{align} \]

 

여기서 쌍곡선 궤도의 장반경은 \(a \lt 0\) 으로서 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} a= \frac{h^2}{\mu (1-e^2)} \tag{9} \end{align} \]

 

한편 에너지 관계식으로부터,

 

\[ \begin{align} \mathcal{E}= \frac{v^2}{2}- \frac{\mu}{r}= \frac{v_\infty^2}{2}= - \frac{\mu}{2a} \tag{10} \end{align} \]

 

근지점에서의 속도 \(v_p\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} v_p= \sqrt{ v_\infty^2 + \frac{2\mu}{r_p} } \tag{11} \end{align} \]

 

또한 식 (8)과 (10)을 이용하면 다음과 같이 이심율 관계식을 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} e=1 - \frac{r_p}{a} = 1+ \frac{ r_p v_\infty^2}{\mu } \tag{12} \end{align} \]

 

식 (12)에 의하면 \(\mu\) 가 작을수록, 즉 천체의 질량이 작을수록, 또한 \(r_p\) 와 \(v_\infty\) 가 클수록 \(e\) 가 커진다. 이는 곧 우주비행체의 운동 방향이 많이 바뀌지 않는다는 것을 의미하는데, 천체의 질량이 작으면 중력도 작고 \(r_p\) 가 크면 천체로부터 우주비행체의 거리가 멀고, 우주비행체의 속도가 빠르면 우주비행체의 운동 방향이 쉽게 바뀌지 않는다는 것을 생각하면 당연한 결론이다.

 

 

그림에서 \(\hat{S}\) 는 점근선벡터(asymptote vector) 로서 진입 점근선의 방향을 나타내는 단위벡터다. \(\vec{B}\) 는 B-벡터 또는 충격벡터(impact vector)라고 하며 천체의 중심으로부터 진입 점근선까지의 최단거리 벡터로서 진입 점근선과 직교한다. \(\vec{B}\) 의 크기 \(B\) 를 충격파라미터(impact parameter)라고 한다. \(a \lt 0\) 임을 감안하면 그림에서 \(B\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} B=(r_p-a) \sin \beta \tag{13} \end{align} \]

 

여기서 \(\sin \beta = \sin (\pi- \theta_\infty ) = \sin \theta_\infty \) 임을 이용하고 식 (9)와 식 (3)을 대입하면 식 (13)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} B &= -ae \sin \theta_\infty \tag{14} \\ \\ &= -ae \sqrt{ 1- \cos^2 \theta_\infty } \\ \\ &= -ae \sqrt{ 1-\frac{1}{e^2} } \\ \\ &= -a \sqrt{ e^2-1 } \end{align} \]

 

위 식에 식 (10)을 대입하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} B = \frac{\mu}{v_\infty^2 } \sqrt{e^2-1} \tag{15} \end{align} \]

 

한편 궤도 상에서 각운동량은 보존되므로 무한대에서의 각운동량과 근지점에서의 각운동량은 같고 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} h &= \rvert \vec{r}_\infty \times \vec{v}_\infty \lvert =B v_\infty \tag{16} \\ \\ &= \lvert \vec{r}_p \times \vec{v}_p \rvert = r_p v_p \end{align} \]

 

위 식과 식 (11)을 이용하면 충격파라미터 \(B\) 를 다음과 같이 표현할 수도 있다.

 

\[ \begin{align} B &= \frac{h}{v_\infty} = \frac{r_p v_p}{v_\infty} \tag{17} \\ \\ &=r_p \sqrt{ 1+ \frac{2\mu}{v_\infty^2 r_p} } \end{align} \]

 

결론적으로 \(v_\infty \) 와 \(r_p\) 가 주어지면 지금까지 유도한 여러 방정식을 통해 \(a, \ e, \ \mathcal{E}, \ \theta_\infty ,, \ \delta \) 를 계산할 수 있으므로, 이 두 값이 쌍곡선 궤도의 모양을 결정한다고 볼 수 있다.