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항공우주/우주역학23

상대 궤도운동 방정식 (Relative Orbit Equation of Motion) 우주공학의 미래라고 불리는 분산 우주시스템(distributed space system)은 단일 위성으로는 불가능한 임무를 수행하기 위해서 두 개 이상의 위성을 집단적으로 사용하는 시스템이다. 분산 우주시스템의 임무 개념의 예로서 궤도상(on-orbit) 서비스, 우주 상황 인식, 분산 군집(swarm) 기반 센싱, 위성 편대비행(formation flying), 랑데부 및 도킹 등을 들 수 있다. 분산 우주 시스템의 장점은 여러 위성 간의 상대 운동을 활용하는 데서 발생한다. 따라서 상대 운동을 표현하기 위한 좌표계와 기준 위성이 필요하다. 보통 분산 우주시스템의 임무가 지구를 중심으로 수행되므로 관성 좌표계로는 지구중심 관성좌표계(ECI, earth-centered inertial frame)를 사용.. 2023. 1. 20.
ECEF-LLH 좌표계 상호 변환 매트랩 코드 LLH 좌표계에서 ECEF좌표계로 좌표변환하는 문제를 알고리즘 형태로 정리하면 다음과 같다. 입력: 위도 (\(\lambda_{lat}\)), 경도 (\(\lambda_{lon}\)), 높이 (\(h\)) 1. 접선반경 (\(R_{tr}\)) 계산: \(R_{tr}=\frac{ R_{eq}}{ \sqrt{1-e_{er}^2 \sin^2 \lambda_{lat}}}\) 2. 벡터 \(r^e\) 계산: \(r^e= \begin{bmatrix} (R_{tr}+h) \cos \lambda_{lat} \cos \lambda_{lon} \\ (R_{tr}+h) \cos \lambda_{lat} \sin \lambda_{lon} \\ \left( R_{tr} (1-e_{er}^2 )+h \right) \sin \la.. 2022. 1. 1.
ECEF 좌표계와 LLH 좌표계 지구중심지구고정 좌표계(ECEF, earth-centered earth-fixed frame)는 지구의 중심에 원점이 위치하며 지구에 고정되어 있어서 지구와 함께 자전하는 좌표계이다. 지구와 함께 자전한다는 점에서 ECI 좌표계와는 다르다. 기호로는 {e}로 표시한다. 좌표계의 \(\hat{e}_1-\hat{e}_2\) 평면은 지구의 적도면에 위치한다. \(\hat{e}_3\) 축은 ECI 좌표계의 \(\hat{i}_3\) 와 같은 방향으로 지구의 자전축 방향이며 \(\hat{e}_1\) 축은 지구 적도와 그리니치(Greenwich) 자오선이 만나는 점을 향한다. \(\hat{e}_2\) 축은 오른손 법칙에 의해 정해진다. ECI 좌표계에 대한 ECEF 좌표계의 각속도 벡터는 \(^i \vec{\omeg.. 2021. 12. 30.
SCI 좌표계와 ECI 좌표계 뉴턴의 운동법칙을 적용하기 위해서는 관성좌표계가 필요하다. 태양계 내에서 태양 주위를 공전하는 행성이나 혜성, 그리고 행성간 우주 탐사선 등의 운동에는 '태양중심 관성좌표계'를 사용하고, 지구 주위를 공전하는 인공위성의 운동에는 '지구중심 관성좌표계'를 사용하는 것이 편리하다. 태양도 은하계 중심을 기준으로 공전하고, 지구 역시 태양 중심을 기준으로 공전하기 때문에 엄밀한 의미에서 두 좌표계는 관성좌표계가 아니지만, 해당 운동 영역에서는 관성좌표계로 간주해도 정확도면에서 충분하기 때문이다. 지구가 태양주위를 공전하면서 만드는 평면을 황도면 (또는 공전궤도면)이라고 한다. 지구의 적도면은 이 황도면을 기준으로 \(23.4\) 도 기울어져 있다. 적도면과 황도면이 만나는 선을 춘분선(vernal equino.. 2021. 12. 30.
기본 궤도 미분 방정식의 무차원화 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^id^2 \vec{r}}{dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=GM\) 은 중력 파라미터, \(\vec{r}\) 은 관성 좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질점 \(m\) 까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 이 방정식에서 사용하는 거리와 시간의 크기는 \(km\) 나 초 (\(sec\))로 표시하기에는 너무 큰 경우가 많기 때문에 숫자의 크기를 줄이고 수치연산 시간을 줄이기 위해서 천문단위를 도입하여 사용하는 경우가 있다. 천문단위는 무차원화(nondimensionalization)된 시간과 거리 단위를 말한다. 먼저 .. 2021. 12. 30.
궤도 에너지와 속도 운동에너지(kinetic energy)와 위치에너지(potential energy)의 합이 기계적인 에너지 \(\mathcal{E}\) 이며, 이 에너지는 운동 궤도상에서 일정하게 보존된다. \[ \frac{v^2}{2}- \frac{\mu }{r} = \mathcal{E} = \mbox{constant} \tag{1} \] 여기서 \(\frac{v^2}{2} \) 은 단위질량당 운동에너지, \(-\frac{\mu}{r}\) 는 단위질량당 위치에너지이다. 이제 이체문제(two-body problem)에서 질점 \(M\) 을 지구로, 질점 \(m\) 을 우주비행체로 보고 논의를 진행하자. 궤도의 에너지 \(\mathcal{E}\) 는 궤도상에서 모두 동일하므로 근지점(perigee)이나 원지점(apogee.. 2021. 12. 14.
케플러(Kepler) 법칙의 증명 케플러(Kepler)의 세가지 법칙은 이체문제(two-body problem) 가정 하에 뉴턴의 제2법칙과 만유인력의 법칙을 이용하여 증명할 수 있다. 케플러의 법칙은 주로 화성을 관찰하여 얻은 경험적인 법칙이지만 지구를 비롯한 모든 행성뿐만 아니라 우주비행체에도 적용된다. 케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다. 이체문제 가정 하에 질점 \(m\) 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 \(m\) 을 행성, 질점 \(M\) 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다. 케플러의 제2법칙은 질점 \(M\) 과 질점 \(m\) (태양과 행성의 중심)을 연결한 선은 동일한 시간동안 동일한 면적을.. 2021. 12. 13.
이체문제에서 궤도의 모양 이체문제(two-body problem) 가정하에서 다음 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^i d^2 \vec{r} }{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=GM\) 은 중력 파라미터, \(\vec{r}\) 은 관성 좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질점 \(m \ll M\) 까지의 위치벡터, \(r\) 은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 그리고 기본 방정식으로부터 다음과 같이 궤적 방정식(trajectory equation)을 유도하였다. \[ r= \frac{p}{1+e \cos \theta } \tag{2} \] 여기서 \(p\) 는 통반경 (semi-latus rectum), \(e\) 는 이심율 (e.. 2021. 12. 13.
[CR3BP] 자코비 적분 (Jacobi Integral) CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다. \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ (1-\mu)(x+\mu) }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu (x+\mu-1) }{ r_{23}^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ (1-\mu) y }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu y }{ r_{23}^3 } \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ (1-\mu) z }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu z }{ r_{23}^3 } \end{align} \] 여기서 \[ \begin{align} & r_{13}= \sqrt{ (x+\mu)^2+y^2+z^.. 2021. 6. 16.
[CR3BP] 라그랑지 포인트 (Lagrange Point) CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다. \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} - x = - \frac{ (1-\mu)(x+\mu) }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu (x+\mu-1) }{ r_{23}^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} - y = - \frac{ (1-\mu) y }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu y }{ r_{23}^3 } \\ \\ & \ddot{z} = - \frac{ (1-\mu) z }{r_{13}^3 } - \frac{ \mu z }{ r_{23}^3 } \end{align} \] 여기서 \[ \begin{align} & r_{13}= \sqrt{ (x+\mu)^2+y^2+z^.. 2021. 4. 10.