J2 섭동 가속도 (J2 Perturbative Acceleration)

이체문제 하에서 지구를 단순하게 구형 대칭 질량체라고 가정하면 중력 포텐셜 함수(gravity potential function)는 $V(r)=-\frac{\mu }{r}$ 이며 원추형 궤도를 생성한다. 하지만 지구는 구형 대칭 질량체가 아니고 적도 부분이 볼록하고 북극과 남극에서는 펀평한 타원구체 형태를 갖고 있으며 질량 분포 또한 불균일 하다. 이 경우 중력 포텐셜 함수는 구역 조화항(zonal harmonics), 부문 조화항(sectorial harmonics) 및 테세리얼 조화항(tesseral harmonics)을 포함한 복잡한 함수로 모델링할 수 있다 (https://pasus.tistory.com/348).

만약 지구의 모양과 질량 분포를 자전축을 중심으로 하는 축대칭으로 근사화한다면 중력 포텐셜 함수는 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& V(r,\varphi )=-\frac{\mu }{r}[1-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^k{J}_k{P}_k(\sin \varphi )]\end{array}$$

 

여기서 $J_k$는 구역 조화항(zonal harmonics), $R_e$ 는 지구의 적도 반지름, $\varphi$ 는 지구 중심을 기준으로 측정한 위도(geocentric latitude), $P_k$ 는 $k$ 차(degree) 르장드르 다항식이다.

 

 

지구가 회전축에 대해서 대칭이라는 것은 적도면에 x축과 y축이 있고 z축을 공통으로 공유하는 한 특정한 직교좌표계의 선택과는 무관하다는 것을 의미한다. 따라서 위 그림에서는 좌표계로서 지구중심관성(ECI) 좌표계를 사용했다.

식 (1)에서 J2항만 고려하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& V(r,\varphi )& =-\frac{\mu }{r}[1-\frac{J_2}{2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(3{\sin }^2\varphi -1)]\\ & =-\frac{\mu }{r}+\frac{J_2}{2}\frac{\mu }{r}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(3{\sin }^2\varphi -1)\end{array}$$

 

중력 가속도는 다음과 같이 포텐셜 함수의 그래디언트로 계산된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \overrightarrow{a}=-\mathrm{\nabla }V(x,y,z)=-\frac{\partial V}{\partial x}{\hat{i}}_1-\frac{\partial V}{\partial y}{\hat{i}}_2-\frac{\partial V}{\partial z}{\hat{i}}_3\end{array}$$

 

여기서 $\overrightarrow{r}=x{\hat{i}}_1+y{\hat{i}}_2+z{\hat{i}}_3$ 이다. 식 (2)의 포텐셜 함수는 $r$ 과 $\varphi$ 의 함수로 되어 있으므로 일단 $r$ 과 $\varphi$ 에 대한 식 (2)의 미분을 구하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& & \frac{\partial V}{\partial r}=\frac{\mu }{r^2}-\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(3{\sin }^2\varphi -1)\\ & \frac{\partial V}{\partial \varphi }=\frac{J_2}{2}\frac{\mu }{r}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(6\sin \varphi \cos \varphi )\end{array}$$

 

식 (2)의 포텐셜 함수를 $x,y,z$ 함수로 변환하기 위해서는 다음과 같은 관계식이 필요하다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& & r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ & \sin \varphi =\frac{z}{r}\end{array}$$

 

식 (5)를 이용하여 $r$ 과 $\varphi$ 를 $x,y,z$ 로 미분하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& & \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}\\ & \frac{\partial \varphi }{\partial x}=\frac{1}{\cos \varphi }(-\frac{xz}{r^3})\\ \\ & \frac{\partial \varphi }{\partial y}=\frac{1}{\cos \varphi }(-\frac{yz}{r^3})\\ \\ & \frac{\partial \varphi }{\partial z}=\frac{1}{\cos \varphi }\left(\frac{x^2+y^2}{r^3}\right)=\frac{\cos \varphi }{r}\end{array}$$

 

 

 

이제 식 (4)와 (6) 그리고 미분의 연쇄법칙을 이용하면 각 축별로 식 (3)의 미분항을 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& \frac{\partial V}{\partial x}& =\frac{\partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial \varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial x}\\ & =(\frac{\mu }{r^2}-\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(3{\sin }^2\varphi -1))\frac{x}{r}\\ \\ & +\frac{J_2}{2}\frac{\mu }{r}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(6\sin \varphi \cos \varphi )\frac{1}{\cos \varphi }(-\frac{xz}{r^3})\\ \\ & =\frac{\mu }{r^3}x-\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2\frac{x}{r}(5{\left(\frac{z}{r}\right)}^2-1)\\ \\ \\ \frac{\partial V}{\partial y}& =\frac{\partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial V}{\partial \varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial y}\\ \\ & =(\frac{\mu }{r^2}-\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(3{\sin }^2\varphi -1))\frac{y}{r}\\ \\ & +\frac{J_2}{2}\frac{\mu }{r}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(6\sin \varphi \cos \varphi )\frac{1}{\cos \varphi }(-\frac{yz}{r^3})\\ \\ & =\frac{\mu }{r^3}y-\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2\frac{y}{r}(5{\left(\frac{z}{r}\right)}^2-1)\\ \\ \\ \frac{\partial V}{\partial z}& =\frac{\partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial z}+\frac{\partial V}{\partial \varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial z}\\ \\ & =(\frac{\mu }{r^2}-\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(3{\sin }^2\varphi -1))\frac{z}{r}\\ \\ & +\frac{J_2}{2}\frac{\mu }{r}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(6\sin \varphi \cos \varphi )\frac{\cos \varphi }{r}\\ \\ & =\frac{\mu }{r^3}z-\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(3{\sin }^2\varphi -1)\frac{z}{r}\\ \\ & -\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2(2({\sin }^2\varphi -1))\sin \varphi \\ \\ & =\frac{\mu }{r^3}z-\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2\frac{z}{r}(5{\left(\frac{z}{r}\right)}^2-3)\end{array}$$

 

식 (7)을 (3)에 대입하면 중력 가속도는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& \overrightarrow{a}& =-\frac{\mu }{r^3}(x{\hat{i}}_1+y{\hat{i}}_2+z{\hat{i}}_3)+{\overrightarrow{a}}_p\\ & =-\frac{\mu }{r^3}\overrightarrow{r}+{\overrightarrow{a}}_p\end{array}$$

 

위 식에서 첫번째 항은 이체(two-body) 가속도이고 두번째 항은 지구의 비구형(nonspherical Earth)으로 인한 섭동 가속도로서 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\overrightarrow{a}}_p=\frac{3}{2}{J}_2\frac{\mu }{r^2}{\left(\frac{R_e}{r}\right)}^2\left[\begin{array}{c}\frac{x}{r}(5{\left(\frac{z}{r}\right)}^2-1){\hat{i}}_1\\ +\frac{y}{r}(5{\left(\frac{z}{r}\right)}^2-1){\hat{i}}_2\\ +\frac{z}{r}(5{\left(\frac{z}{r}\right)}^2-3){\hat{i}}_3)\end{array}\right]\end{array}$$

 

따라서 섭동 가속도로 인해 교란된 이체문제 운동방정식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+\frac{\mu }{r^3}\overrightarrow{r}={\overrightarrow{a}}_p\end{array}$$

 

여기서 주의할 점은 지구의 비구형으로 인한 섭동 가속도 방정식을 유도할 때 구역 조화항 만을 고려한 포텐셜 함수를 가정하였다는 점이다. 구역 조화항은 경도에 종속되지 않으므로 지구중심관성(ECI) 좌표계를 사용할 수 있었지만 부문 조화항 및 테세리얼 조화항까지 고려해야 한다면 좌표계는 지구중심지구고정(ECEF) 좌표계를 사용해야 한다.