오일러각 좌표변환 방법은 좌표계 \(\{a\}\)에서 좌표계 \(\{b\}\)로의 좌표변환을 단 3개의 파라미터로 표현하는 방법이다. 좌표변환은 3개의 파라미터만으로 표현할 수 있으므로 오일러각 방법은 가장 경제적인 좌표변환 방법이라고 말할 수 있다.

오일러각 방법은 좌표계 \(\{a\}\)의 특정 좌표축을 시작으로 3번의 연속적인 회전을 통해서 좌표계 \(\{a\}\)를 좌표계 \(\{b\}\)로 변환한다. 먼저 공학의 여러 분야에서 통상적으로 사용되는 3-2-1 오일러각에 대해서 설명해 본다.

3-2-1 방식은 좌표계 \(\{a\}\)의 \(z\)축을 중심으로 회전하여 좌표변환하고, 다시 변환된 좌표계의 \(y\)축을 중심으로 회전하여 좌표변환하며, 마지막으로 변환된 좌표계의 \(x\)축을 중심으로 다시 회전하여 최종적으로 좌표계 \(\{b\}\)로 변환하는 방법이다.

구체적으로 살펴보자. 먼저 좌표계 \(\{a\}\)의 \(z\)축, 즉 \(\hat{a}_3\) 축을 중심으로 \(\psi\) 만큼 돌린다. \(\hat{a}_3\) 축은 화면 밖으로 나오는 방향이다. 플러스(\(+\)) 회전 방향은 오른손 법칙에 따른다. 그러면 새로운 좌표계가 나온다. 그 좌표계를 \(\{m\}\)이라고 하자.

이 좌표계의 \(y\)축, 즉 \(\hat{m}_2\) 축을 중심으로 \(\theta\) 만큼 돌려서 나온 좌표계를 \(\{n\}\)이라고 하자.

다시 이 좌표계의 \(x\)축, 즉 \(\hat{n}_1\) 축을 중심으로 \(\phi\) 만큼 돌리면 새로운 좌표계에 도달하는데 그 좌표계가 바로 좌표계 \(\{b\}\)다.

이것이 3-2-1 오일러각 방식이다. \(\psi, \theta, \phi\) 등 3 개의 파라미터로 좌표계 \(\{a\}\)를 좌표계 \(\{b\}\)로 변환한 것이다.

다른 오일러각 변환 방식도 있을까? 있다.

1-2-3 오일러각 방식에 의한 좌표변환도 가능하다. 1-2-3 오일러각 방식에서는 먼저 좌표계 \(\{a\}\)의 \(x\)축을 중심으로 돌리고, 그 다음 돌아간 좌표계의 \(y\)축으로 돌리고, 그리고 다시 돌아간 좌표계의 \(z\)축으로 돌려서 최종적으로 좌표계 \(\{b\}\)로 가는 방법이다.

1-2-1 오일러각 방식도 가능하다. 먼저 좌표계 \(\{a\}\)의 \(x\)축을 중심으로 돌리고, 그 다음 돌아간 좌표계의 \(y\)축으로 돌리고, 그리고 다시 돌아간 좌표계의 \(x\)축으로 돌려서 최종적으로 좌표계 \(\{b\}\)로 변환하는 방법이다. 이런 식으로 하면 12가지 방식이 나온다.

성격을 달리하는 회전 방식도 있다. 먼저 좌표계 \(\{a\}\)의 \(x\)축을 중심으로 돌리고 그 다음 돌아간 좌표계가 아니라 다시 좌표계 \(\{a\}\)의 \(y\)축으로 돌린다. 다시 좌표계 \(\{a\}\)의 \(z\)축으로 돌려서 최종적으로 좌표계 \(\{b\}\)로 가는 방식이 있다. 돌려서 얻은 좌표계가 아니라 원래 좌표계 \(\{a\}\)의 특정 축을 중심으로만 회전하는 방식이다. 이런 식으로 하면 역시 12가지 방식이 나온다.

그래서 오일러각 좌표변환 방식은 총 24가지가 있다.