벡터를 직교 좌표계로 표현하기

스칼라(scalar)는 크기만 가진 어떤 양이다. 반면에 벡터(vector)는 크기와 방향을 갖는 양이다.

 

 

벡터는 통상적으로 영문 소문자위에 화살표로 표기한다. 즉 벡터 \(u\)는 \(\vec{u}\)로 표기한다. 또한 벡터는 화살표로 그린다. 화살표의 크기는 벡터의 크기를 나타내며, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타낸다.

 

 

벡터의 크기는 벡터의 절대값으로 표기한다. 벡터 \(\vec{u}\)의 크기는 \(\left\vert \vec{u} \right\vert\)다.

두 개의 벡터는 크기와 방향이 모두 같으면 '같다'고 한다. 아래 그림에서 두 벡터 \(\vec{u}\)와 \(\vec{w}\)는 출발점이 다르지만 크기와 방향이 같으므로 같다. 즉, \(\vec{u}=\vec{w}\) 이다.

 

 

벡터는 특정 좌표계의 좌표축 성분으로 나누어 표현할 수 있다. 예를 들어 벡터 \(\vec{u}\)를 좌표계 \(\{a\}\)의 축 성분으로 표현하기 위해서는 다음과 같이 벡터 \(\vec{u}\)를 \(\{a\}\)의 좌표축을 나타내는 단위벡터가 가리키는 방향의 성분으로 나타내면 된다.

 

\[ \begin{align} \vec{u} &= (\vec{u} \cdot \hat{a}_1 ) \hat{a}_1+(\vec{u} \cdot \hat{a}_2 ) \hat{a}_2+(\vec{u} \cdot \hat{a}_3 ) \hat{a}_3 \\ \\ &= u_1 \hat{a}_1+u_2 \hat{a}_2+u_3 \hat{a}_3 \end{align} \]

 

여기서 \(u_1\)은 벡터 \(\vec{u}\)의 \(x\)축 또는 단위백터 \(\hat{a}_1\)가리키는 방향의 성분이다. 왜냐하면

 

\[ u_1=\vec{u} \cdot \hat{a}_1 = \left\vert \vec{u} \right\vert \cos \theta \]

 

이기 때문이다. 여기서 \(\theta\)는 벡터 \(\vec{u}\)와 \(\hat{a}_1\)의 사잇각이므로 \(u_1\)은 벡터 \(\vec{u}\)를 단위벡터 \(\hat{a}_1\)이 가리키는 방향으로 투사한 길이가 된다.

 

 

마찬가지로 \(u_2, u_3\)도 각각 벡터 \(\vec{u}\)를 \(y\)축과 \(z\)축으로 투사한 길이가 된다. 즉, 각 축의 성분이 된다.

스칼라 \(u_1\)과 단위벡터 \(\hat{a}_1\)의 곱은 길이가 \(u_1\), 방향이 \(\hat{a}_1\)인 벡터가 되고 나머지도 마찬가지기 때문에, 세 개의 축 성분으로 이루어진 벡터 합은 곧 벡터 \(\vec{u}\)와 같게 된다.

 

 

이제 좌표계 \(\{a\}\)의 각축의 성분 \(u_1, u_2, u_3\)를 다음과 같이 열(column)행렬 형태로 표시하고,

 

\[ \mathbf{u}^a= \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \end{bmatrix}^T \]

 

\(\mathbf{u}^a\)를 '좌표계 \(\{a\}\)에서의 벡터 \(\vec{u}\)의 표현' 이라고 하며 간단히 '벡터 \(\mathbf{u}^a\)' 라고 하기도 한다. 위 식에서 위첨자 \(T\)는 전치(transpose)를 뜻한다.

벡터 \(\vec{u}\)를 좌표계 \(\{b\}\)의 축 성분으로 표현할 수도 있다. 좌표계 \(\{a\}\)와 좌표계 \(\{b\}\)는 다르기 때문에 동일한 벡터 \(\vec{u}\)이라 하더라도 축 성분은 다르게 나올 것이다. 이 경우는 축 성분이 \(s_1, s_2, s_3\)이다.

 

\[ \begin{align} \vec{u} &= (\vec{u} \cdot \hat{b}_1 ) \hat{b}_1+(\vec{u} \cdot \hat{b}_2 ) \hat{b}_2+(\vec{u} \cdot \hat{b}_3 ) \hat{b}_3 \\ \\ &= s_1 \hat{b}_1+s_2 \hat{b}_2+s_3 \hat{b}_3 \end{align} \]

 

 

 

그러면 '좌표계 \(\{b\}\)에서의 벡터 \(\vec{u}\)의 표현'은

 

\[ \mathbf{u}^b= \begin{bmatrix} s_1 & s_2 & s_3 \end{bmatrix}^T \]

 

이다. 이와 같이 보통 같은 벡터라도 좌표계가 달라지면 그 표현이 달라진다. 마치 어떤 과일을 한국 사람은 사과라고 표현하고 미국 사람은 애플이라고 표현하는 것과 마찬가지다.

 

 

한 좌표계에서 표현된 벡터를 다른 좌표계로 표현하려면 좌표변환을 해야 한다. 좌표변환 방법은 몇 가지가 있는데, 많이 사용되는 좌표변환 방식은 3가지다. 방향코사인행렬(DCM, Direction Cosine Matrix), 오일러각(Euler angles), 쿼터니언(Quaternion)이다.