방향코사인행렬 (DCM)

DCM은 Direction Cosine Matrix의 약자다. 방향코사인행렬 또는 회전행렬(rotation matrix)이라고 한다. 기호로는 $C_b^a$ 라고 쓰고 위 첨자와 아래 첨자에 각각 좌표계를 표시한다. 그리고 좌표계 $\{a\}$에서 좌표계 $\{b\}$로의 DCM이라고 읽는다.

 

 

DCM은 $3\times 3$ 행렬이다. 그러면 9개의 행렬 성분(element)이 있는데, 각각은 다음과 같이 정의한다.

 

$$C_b^a=\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_1\cdot {\hat{b}}_1& {\hat{a}}_1\cdot {\hat{b}}_2& {\hat{a}}_1\cdot {\hat{b}}_3\\ {\hat{a}}_2\cdot {\hat{b}}_1& {\hat{a}}_2\cdot {\hat{b}}_2& {\hat{a}}_2\cdot {\hat{b}}_3\\ {\hat{a}}_3\cdot {\hat{b}}_1& {\hat{a}}_3\cdot {\hat{b}}_2& {\hat{a}}_3\cdot {\hat{b}}_3\end{array}\right]$$

 

정의에 의하면 DCM 행렬의 $i$번째 행과 $j$번째 열은 좌표계 $\{a\}$의 ${\hat{a}}_i$축과 좌표계 $\{b\}$의 ${\hat{b}}_j$축과의 내적이다. 두 축의 내적은

 

$${\hat{a}}_i\cdot {\hat{b}}_j=\cos \alpha$$

 

으로 주어지고 $\alpha$는 두 축사이의 사잇각이므로 '방향코사인' 이라는 이름이 붙었다.

좌표계 $\{b\}$에서 좌표계 $\{a\}$로의 DCM은 행렬 $C$의 위 첨자와 아래 첨자를 반대로 써서 $C_a^b$로 표현할 수 있다. $C_b^a$와 $C_a^b$는 서로 역변환 관계다.

 

 

DCM의 정의에 의해서 다음 3가지 성질이 파생된다.

먼저, 벡터 $\overrightarrow{u}$를 좌표계 $\{a\}$로 표현한 벡터 ${\mathbf{u}}^a$와 좌표계 $\{b\}$로 표현한 ${\mathbf{u}}^b$는 다음 관계가 있다.

 

$${\mathbf{u}}^a=C_b^a{\mathbf{u}}^b$$

 

위 식에 의하면 좌표계 $\{a\}$에서 좌표계 $\{b\}$로의 DCM $C_b^a$는 좌표계 $\{b\}$에서 표현한 벡터 ${\mathbf{u}}^b$를 좌표계 $\{a\}$에서 표현한 벡터 ${\mathbf{u}}^a$로 변환해 준다.

예제를 통해서 DCM을 계산해보고 좌표변환 관계식이 맞는지 확인해 보자.

다음과 같이 두 좌표계 $\{a\}$와 $\{b\}$가 있을 때 DCM 을 구하고, 길이가 2인 벡터 $\overrightarrow{u}$를 두 좌표계로 표현해 보자. ${\hat{a}}_3$와 ${\hat{b}}_1$은 화면에서 나오는 방향이다.

 

 

우선 ${\hat{a}}_1$과 ${\hat{b}}_1$은 직각이므로 사잇각이 90도이다. 따라서

 

$${\hat{a}}_1\cdot {\hat{b}}_1=\cos {90}^o=0$$

 

이다. ${\hat{a}}_1$과 ${\hat{b}}_2$는 사잇각이 30도이다. 따라서

 

$${\hat{a}}_1\cdot {\hat{b}}_2=\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

 

이다. 이런 식으로 다 계산해 보면,

 

$$C_b^a=\left[\begin{array}{ccc}0& \sqrt{3}/2& -1/2\\ 0& 1/2& \sqrt{3}/2\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$$

 

이 된다. 이제, 벡터 $\overrightarrow{u}$를 좌표계 $\{a\}$의 각 축으로 표현하면 다음과 같다.

 

$${\mathbf{u}}^a=\left[\begin{array}{c}2\cos {30}^o\\ 2\sin {30}^o\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

 

좌표계 $\{b\}$의 경우는 다행히 벡터 $\overrightarrow{u}$가 ${\hat{b}}_2$ 방향과 일치하므로,

 

$${\mathbf{u}}^a=\left[\begin{array}{c}2\cos {30}^o\\ 2\sin {30}^o\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

 

이다. DCM $C_b^a$와 ${\mathbf{u}}^b$를 이용하여 ${\mathbf{u}}^a$를 계산하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{u}}^a& =C_b^a{\mathbf{u}}^b\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccc}0& \sqrt{3}/2& -1/2\\ 0& 1/2& \sqrt{3}/2\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

 

그런데 만약 ${\mathbf{u}}^a$를 이용하여 ${\mathbf{u}}^b$를 계산하려면 어떻게 해야할까. 다음과 같이 역행렬(inverse matrix)을 이용하면 될 것 같다.

 

$${\mathbf{u}}^b={\left(C_b^a\right)}^{-1}{\mathbf{u}}^a$$

 

그런데 보통 $3\times 3$행렬(행과 열이 각각 3개인 행렬)의 역행렬은 구하기가 어렵다.

 

 

이것을 해결해 줄 DCM의 두번째 성질이 있다. DCM $C_b^a$의 역행렬은 전치(transpose) 행렬과같다는 것이다. 즉

 

$${\left(C_b^a\right)}^{-1}={\left(C_b^a\right)}^T$$

 

전치 행렬은 행렬의 행과 열을 서로 뒤바꾸는 놓은 것이기 때문에 계산이 매우 쉽다. 그러면 ${\mathbf{u}}^a$를 이용하여 ${\mathbf{u}}^b$를 계산해 보자.

 

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{u}}^b& ={\left(C_b^a\right)}^{-1}{\mathbf{u}}^a={\left(C_b^a\right)}^T{\mathbf{u}}^a\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ \sqrt{3}/2& 1/2& 0\\ -1/2& \sqrt{3}/2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\\ 0\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

 

이제 DCM $C_b^a$로 좌표계 $\{a\}$에서 표현한 벡터 ${\mathbf{u}}^a$를 좌표계 $\{b\}$에서 표현한 벡터 ${\mathbf{u}}^b$로 변환하든가 그 반대로 쉽게 변환할 수 있다.

DCM의 세번째 성질은 연쇄법칙이 성립한다는 것이다. 연쇄법칙은 다음과 같은 것이다.

 

$$C_c^a=C_b^a{C}_c^b$$

 

좌표계 $\{a\}$에서 좌표계 $\{c\}$로의 DCM을 직접 계산할 수도 있지만 중간 단계의 좌표계 $\{b\}$를 두고 각각의 DCM을 계산해서 구할 수도 있다는 이야기다. 즉 $\{a\}$에서 $\{c\}$로 가는 것은 $\{a\}$에서 $\{b\}$로, 다시 $\{b\}$에서 $\{c\}$로 가는 것과 같다는 뜻이다. DCM을 직접 구하기 어려운 경우 매우 유용하다.

 

 

 

방향코사인행렬, 오일러각, 그리고 쿼터니언