오일러 운동방정식 (Euler’s Equation of Motion)

질량중심을 기준으로 한 강체의 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/191).

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& {\overrightarrow{M}}_G& =\frac{{}^{b}d{\overrightarrow{H}}_G}{dt}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times {\overrightarrow{H}}_G\\ & ={\overline{I}}_G\cdot \frac{{}^{b}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^b}{dt}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times ({\overline{I}}_G\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^b)\end{array}$$

 

여기서 ${}^i{\overrightarrow{\omega }}^b$ 는 관성 좌표계 $\{i\}$ 에 대한 강체 좌표계 $\{b\}$ 의 각속도벡터, ${\overline{I}}_G$ 는 강체의 질량중심점 $G$ 에 관한 관성 다이아딕(inertia dyadic), ${\overrightarrow{M}}_G$ 와 ${\overrightarrow{H}}_G$ 는 각각 질량중심점에 관한 모멘트와 각운동량 벡터다.

 

 

이제 식 (1)의 각 항을 각각 다음과 같이 강체 좌표계 $\{b\}$ 로 표현해 보자.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& & {\overrightarrow{M}}_G=M_x{\hat{b}}_1+M_y{\hat{b}}_2+M_z{\hat{b}}_3\\ & {\overrightarrow{H}}_G=H_x{\hat{b}}_1+H_y{\hat{b}}_2+H_z{\hat{b}}_3\\ \\ & {}^i{\overrightarrow{\omega }}^b={\omega }_x{\hat{b}}_1+{\omega }_y{\hat{b}}_2+{\omega }_z{\hat{b}}_3\\ \\ & {\overline{I}}_G=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{I}_{ij}{\hat{b}}_i{\hat{b}}_j\\ \\ & \overrightarrow{r}=x{\hat{b}}_1+y{\hat{b}}_2+z{\hat{b}}_3\end{array}$$

 

식 (2)를 이용하여 각운동량 벡터를 좌표계 $\{b\}$ 로 표현하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& & H_G^b=[I_G^b]{\omega }_{ib}^b\\ \to & \left[\begin{array}{c}{H}_x\\ H_y\\ H_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{yz}& I_{yy}& -I_{yz}\\ -I_{zx}& -I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right]\end{array}$$

 

여기서 관성모멘트(MOI, moment of inertia) $I_{xx},I_{yy},I_{zz}$ 와 관성곱(product of inertia) $I_{xy},I_{xz},I_{yx},I_{yz},I_{zx},I_{zy}$ 는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& & I_{xx}=\int (y^2+z^2)dm,I_{xy}=I_{yx}=\int xydm\\ & I_{xz}=I_{zx}=\int xzdm,I_{yy}=\int (x^2+z^2)dm\\ \\ & I_{yz}=I_{zy}=\int yzdm,I_{zz}=\int (x^2+y^2)dm\end{array}$$

 

식 (3)에서 관성곱에 있는 음($-$)의 부호는 관성곱을 식 (4)와 같이 정의하기 때문에 붙은 것이다.

 

 

이제 식 (2)와 (3)을 이용하여 식 (1)의 회전 운동방정식을 좌표계 $\{b\}$ 로 표현하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& & M_G^b={\dot{H}}_G^b+[{\omega }_{ib}^b\times ]H_G^b\\ \to & \left[\begin{array}{c}{M}_x\\ M_y\\ M_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\dot{H}}_x\\ {\dot{H}}_y\\ {\dot{H}}_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{H}_x\\ H_y\\ H_z\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{c}{\dot{H}}_x-H_y{\omega }_z+H_z{\omega }_y\\ {\dot{H}}_y+H_x{\omega }_z-H_z{\omega }_x\\ {\dot{H}}_z-H_x{\omega }_y+H_y{\omega }_x\end{array}\right]\end{array}$$

 

식 (5)를 풀어 쓰면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& M_x& =I_{xx}{\dot{\omega }}_x-I_{xy}{\dot{\omega }}_y-I_{xz}{\dot{\omega }}_z-(-I_{yx}{\omega }_x+I_{yy}{\omega }_y-I_{yz}{\omega }_z){\omega }_z\\ & +(-I_{zx}{\omega }_x-I_{zy}{\omega }_y+I_{zz}{\omega }_z){\omega }_y\\ \\ M_y& =-I_{yx}{\dot{\omega }}_x+I_{yy}{\dot{\omega }}_y-I_{yz}{\dot{\omega }}_z+(I_{xx}{\omega }_x-I_{xy}{\omega }_y-I_{xz}{\omega }_z){\omega }_z\\ \\ & -(-I_{zx}{\omega }_x-I_{zy}{\omega }_y+I_{zz}{\omega }_z){\omega }_x\\ \\ M_z& =-I_{zx}{\dot{\omega }}_x-I_{zy}{\dot{\omega }}_y+I_{zz}{\dot{\omega }}_z-(I_{xx}{\omega }_x-I_{xy}{\omega }_y-I_{xz}{\omega }_z){\omega }_y\\ \\ & +(-I_{yx}{\omega }_x+I_{yy}{\omega }_y-I_{yz}{\omega }_z){\omega }_x\end{array}$$

 

 

만약 일반적인 항공기의 형상과 같이 강체가 xz 평면에 대해서 대칭(symmetry)이라면 관성곱 $I_{xy}=I_{yz}=0$ 이므로 (https://pasus.tistory.com/244) 식 (6)은 다음과 같이 간략화 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& & M_x=I_{xx}{\dot{\omega }}_x-I_{xz}{\dot{\omega }}_z-I_{zx}{\omega }_x{\omega }_y+(I_{zz}-I_{yy}){\omega }_y{\omega }_z\\ & M_y=I_{yy}{\dot{\omega }}_y+(I_{xx}-I_{zz}){\omega }_x{\omega }_z+I_{xz}({\omega }_x^2-{\omega }_z^2)\\ \\ & M_z=-I_{xz}{\dot{\omega }}_x+I_{zz}{\dot{\omega }}_z+(I_{yy}-I_{xx}){\omega }_x{\omega }_y+I_{xz}{\omega }_y{\omega }_z\end{array}$$

 

이 때 식 (3)의 각운동량은 다음과 같이 간략화 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& & H_x=I_{xx}{\omega }_x-I_{xz}{\omega }_z\\ & H_y=I_{yy}{\omega }_y\\ \\ & H_z=I_{zz}{\omega }_z-I_{xz}{\omega }_x\end{array}$$

 

만약 강체 좌표계의 각 축의 방향이 관성 주축(principal axes of inertia)과 일치한다면 관성곱은 모두 $0$ 이 되므로 식 (7)은 다음과 같이 더욱 간단해 진다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& & M_x=I_{xx}{\dot{\omega }}_x+(I_{zz}-I_{yy}){\omega }_y{\omega }_z\\ & M_y=I_{yy}{\dot{\omega }}_y+(I_{xx}-I_{zz}){\omega }_x{\omega }_z\\ \\ & M_z=I_{zz}{\dot{\omega }}_z+(I_{yy}-I_{xx}){\omega }_x{\omega }_y\end{array}$$

 

식 (9)를 오일러의 운동방정식(Euler’s equation of motion)이라고 한다. 이 때 식 (8)의 각운동량은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& & H_x=I_{xx}{\omega }_x\\ & H_y=I_{yy}{\omega }_y\\ \\ & H_z=I_{zz}{\omega }_z\end{array}$$