라그랑지 방정식을 이용한 강체 운동방정식 유도

강체(rigid body)의 다양한 지점에 가해지는 모든 외력(external force)은 질량중심(center of mass)에 가해지는 총 외력으로 합산할 수 있고 질량중심은 마치 강체의 모든 질량이 그 중심에 집중되어 있는 질점(point mass)처럼 운동한다.

 

 

또한 외력은 강체의 다양한 지점에서 작용하기 때문에 질량중심에 대해서 모멘트를 만들고 이 모멘트는 질량중심에 대한 회전운동을 생성한다. 이와 같이 강체의 운동은 질량중심의 병진운동과 질량중심에 대한 회전운동으로 분리할 수 있다.

 

 

이제 강체 운동방정식을 라그랑지 방정식(Lagrange's Equation)을 이용하여 유도해 보도록 하겠다. 강체의 운동에너지도 질량중심의 병진 운동에너지와 질량중심에 대한 회전 운동에너지의 합으로 표현할 수 있다.

 

\[ T= \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} {^i\vec{\omega}^b} \cdot \left( {^b \bar{I}_G} \cdot {^i\vec{\omega}^b} \right) \tag{1} \]

 

여기서 \(\vec{v}_G\) 는 질량중심의 속도벡터, \({^b\bar{I}_G}\) 는 질량중심을 중심으로 하는 강체좌표계 \(\{b\}\) 에 관한 관성 다이아딕(inertia dyadic), \({^i \vec{\omega}^b}\) 는 관성좌표계 \(\{i\}\) 에 대한 좌표계 \(\{b\}\) 의 각속도벡터다.

여기서 각속도벡터 \({^i \vec{\omega}^b}\) 를 강체좌표계로 표현한 벡터를 \(\omega_{ib}^b=[\omega_1 \ \ \omega_2 \ \ \omega_3 ]^T\) 라고 하면 3-2-1 오일러각 \(\eta =[ \phi \ \ \theta \ \ \psi]^T\) 의 시간 변화율과 다음과 같은 관계식을 갖는다.

 

\[ \begin{bmatrix} \omega _1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\sin\theta \\ 0 & \cos\phi & \cos\theta \sin\phi \\ 0 & -\sin\phi & \cos\theta \cos\phi \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} \tag{2} \]

 

또는 기호로 표시하면

 

\[ \omega_{ib}^b=R(\eta) \dot{\eta} \tag{3} \]

 

이다. 관성좌표계의 원점에서 질량중심까지의 위치벡터 \(\vec{r}_G\) 을 관성좌표계의 성분으로 표현한 벡터를 \(\mathbf{r}^i=[x \ \ y \ \ z]^T\) 로 표기하고 강체좌표계 \(\{b\}\) 에 관한 관성 다이아딕을 관성행렬 \([ {^b\bar{I}_G} ]\) 로 표기하면 식 (1)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} T &= \frac{1}{2} m (\dot{\mathbf{r}}^i)^T \dot{\mathbf{r}}^i + \frac{1}{2} \dot{\eta}^T R^T (\eta) [ {^b\bar{I}_G} ] R(\eta) \dot{\eta} \tag{4} \\ \\ &= \frac{1}{2} m (\dot{\mathbf{r}}^i )^T \dot{\mathbf{r}}^i + \frac{1}{2} \dot{\eta}^T J(\eta) \dot{\eta} \end{align} \]

 

여기서 \(I_3\) 는 \(3 \times 3\) 단위행렬이고 \(J(\eta)=R^T (\eta) [ {^b \bar{I}_G} ] R(\eta)\) 이다. 일반화 좌표(generalized coordinate) \(\mathbf{q}\) 를 다음과 같이 정의하면,

 

\[ \begin{align} \mathbf{q} &= [ q_1 \ \ q_2 \ \ q_3 \ \ q_4 \ \ q_5 \ \ q_6 ]^T \tag{5} \\ \\ &=[ x \ \ y \ \ z \ \ \phi \ \ \theta \ \ \psi]^T \\ \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{r}^i \\ \eta \end{bmatrix} \end{align} \]

 

식 (1)의 운동에너지는 간단히

 

\[ T=\frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^T H(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} \tag{6} \]

 

로 표기할 수 있다. 여기서

 

\[ H(\mathbf{q})= \begin{bmatrix} m I_3 & 0 \\ 0 & J(\eta) \end{bmatrix} \tag{7} \]

 

이다. \(H(\mathbf{q})\) 는 정정행렬(positive-definite matrix)이다. 정정행렬의 특성상 \(0\) 이 아닌 모든 속도는 양(플러스)의 운동에너지를 산출한다. 중력에 의한 포텐셜 에너지를 \(V(\mathbf{q})\) 로 쓰면 라그랑지안(Lagrangian) \(L\) 은 다음과 같다.

 

\[ L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})=T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})-V(\mathbf{q}) \tag{8} \]

 

일반화 힘(generalized force)을 강체에 작용하는 힘과 질량중심에 관한 모멘트로 정의하면,

 

\[ \mathbf{Q}= \begin{bmatrix} \mathbf{F}^i \\ \mathbf{M}_G^b \end{bmatrix} \tag{9} \]

 

이다. 여기서 주의할 점은 \(\mathbf{F}^i\) 는 강체에 작용하는 외력 \(\vec{F}\) 을 관성좌표계 \(\{i\}\) 의 성분으로 표현한 벡터이고, \(\mathbf{M}_G^b\) 는 질량중심에 대한 모멘트 \(\vec{M}_G\) 를 강체좌표계 \(\{b\}\) 의 성분으로 표현한 벡터라는 것이다. 힘과 모멘트를 각각 다른 좌표계로 표현한 이유는 질량중심의 속도는 관성좌표계로, 각속도벡터는 강체좌표계로 표현했기 때문이다. 외력을 강체좌표계로 표현하려면 다음과 같이 DCM(Direction Cosine Matrix)을 이용하여 좌표변환하면 된다.

 

\[ \mathbf{F}^i=C_b^i (\eta) \mathbf{F}^b \tag{10} \]

 

여기서 \(C_b^i\) 는 좌표계 \(\{i\}\) 에서 \(\{b\}\)로의 DCM이다.

 

 

비보존 시스템의 라그랑지 방정식은 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}} } \right) - \frac{\partial L}{ \partial \mathbf{q} }= \mathbf{Q} \tag{11} \]

 

라그랑지 방정식을 적용하기 위하여 먼저 \( \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}} } \) 을 계산하면,

 

\[ \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}} } = \frac{1}{2} \left( H(\mathbf{q})+H^T (\mathbf{q}) \right) \dot{\mathbf{q}}=H(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} \tag{12} \]

 

이 된다. 위 식을 시간 미분하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}} } \right) = \frac{d H(\mathbf{q})}{dt} \dot{\mathbf{q}} + H(\mathbf{q}) \ddot{\mathbf{q}} \tag{13} \]

 

한편 \(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}\) 을 계산하면 다음과 같다.

 

\[ \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} = \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial \mathbf{q}} \left( \dot{\mathbf{q}}^T H(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} \right) - \frac{\partial V(\mathbf{q})}{\partial \mathbf{q}} \tag{14} \]

 

식 (13), (14)를 (11)에 대입하면 다음과 같이 강체의 운동방정식을 얻을 수 있다.

 

\[ H(\mathbf{q}) \ddot{\mathbf{q}} + \frac{d H(\mathbf{q})}{dt} \dot{\mathbf{q}} - \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial \mathbf{q}} \left( \dot{\mathbf{q}}^T H(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} \right) + \frac{\partial V(\mathbf{q})}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q} \tag{15} \]

 

병진운동과 회전운동이 분리되어 있기 때문에 각각의 운동을 라그랑지 방정식에 적용할 수도 있고, 식 (15)를 분리하여 두 개의 운동으로 나눌 수도 있다. 식 (7)을 식 (15)에 적용하면, 병진 운동방정식은 다음과 같이 된다.

 

\[ m \ddot{\mathbf{r}}^i- \mathbf{g} (\mathbf{r}^i)= \mathbf{F}^i=C_b^i (\eta) \mathbf{F}^b \tag{16} \]

 

여기서 \(\mathbf{g}(\mathbf{r}^i)=- \frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}^i} \) 은 중력이다. 한편 강체의 질량중심에 대한 자세의 변화가 강체의 포텐셜 에너지의 변화에 영향을 미치지 않는다고 가정하면 \(\frac{\partial V}{\partial \eta}=0\) 이므로 회전 운동방정식은 다음과 같이 된다.

 

\[ J(\eta) \ddot{\eta} + \frac{dJ(\eta)}{dt} \dot{\eta}- \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \dot{\eta}^T J(\eta) \dot{\eta} \right) =\mathbf{M}_G^b \tag{17} \]

 

여기서

 

\[ \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \dot{\eta}^T J(\eta) \dot{\eta} \right) = \begin{bmatrix} \dot{\eta}^T \frac{\partial J(\eta)}{\partial \eta_1} \dot{\eta} \\ \dot{\eta}^T \frac{\partial J(\eta)}{\partial \eta_2} \dot{\eta} \\ \dot{\eta}^T \frac{\partial J(\eta)}{\partial \eta_3} \dot{\eta} \end{bmatrix} \tag{18} \]

 

이다.