관성 주축 (Principal Axes of Inertia)

강체에 고정된 임의의 점 B를 원점으로 하고 강체에 고정된 좌표계 \(\{a\}\) 에 관한 관성행렬(inertia matrix)은 다음 식으로 계산할 수 있다 (https://pasus.tistory.com/191).

 

\[ [I_B^a ]= \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} \tag{1} \]

 

여기서 \(x, y, z\) 는 좌표계 \(\{a\}\) 의 원점에서 강체 내의 임의의 점까지의 위치 좌표이고, 즉 \(\vec{r}=x\hat{a}_1+y\hat{a}_2+z\hat{a}_z\), 행렬 \([I_B^a ]\) 의 구성 성분은 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} & I_{xx}= \int (y^2+z^2 ) \ dm, \ \ I_{xy}=- \int xy \ dm, \ \ I_{xz}=- \int xz \ dm \tag{2} \\ \\ & I_{yx}=- \int yx \ dm, \ \ I_{yy}= \int (x^2+z^2) \ dm, \ \ I_{yz}=- \int yz \ dm \\ \\ & I_{zx}=- \int zx \ dm, \ \ I_{zy}=- \int zy dm, \ \ I_{zz}= \int (x^2+y^2) \ dm \end{align} \]

 

 

식 (1)에서 \(I_{xx}, I_{yy}, I_{zz}\) 를 관성모멘트(MOI, moment of inertia) 라고 하고, \(I_{xy}, I_{xz}, I_{yx}\), \(I_{yz}, I_{zx}, I_{zy}\) 를 관성곱(product of inertia)이라고 한다. 만약 좌표계 \(\{a\}\) 의 원점 \(B\) 가 강체의 질량중심 점이라면 관련 용어에 모두 중심(central)이라는 단어를 추가한다. 즉 중심 관성 다이아딕(central inertia dyadic), 중심 관성행렬, 중심 관성스칼라, 중심 관성모멘트 등으로 표기한다. 또한 질량중심점은 다른 점과 구별하기 위하여 위첨자 \(*\) 를 붙인다. 즉 원점 \(B\) 가 질량중심점 이라면 \(B^*\) 로 쓴다.

 

 

식 (2)에 의하면 \(I_{xy}=I_{yx}\), \(I_{xz}=I_{zx}\), \(I_{yz}=I_{zy}\) 이므로 관성행렬은 대칭행렬이며 따라서 \([I_B^a ]\) 에는 9개가 아닌 6개의 독립적인 구성 성분이 있다. 또한 관성곱 \(I_{xy}, I_{xz}, I_{yz}\) 는 양수, 음수 또는 \(0\) 이 될 수 있지만 관성모멘트 \(I_{xx}, I_{yy}, I_{zz}\) 는 항상 양수이므로 관성행렬은 정정행렬(positive-definite matrix)이다.

만약 \(xy\) 평면이 대칭 평면이면 좌표 \(x\) 및 \(y\) 에 대해 좌표 \(+z\) 및 \(-z\) 에 동일한 질량 요소가 있으므로, 이는 적분 함수에서 \(z\) 와의 관성곱이 사라진다는 것을 의미한다.

 

 

\(xz\) 또는 \(yz\) 가 대칭 평면인 경우에도 마찬가지다. 요약하면,

    만약 \(xy\) 평면이 대칭 평면이면, \(I_{xz}=I_{yz}=0\).
    만약 \(xz\) 평면이 대칭 평면이면, \(I_{xy}=I_{yz}=0\).
    만약 \(yz\) 평면이 대칭 평면이면, \(I_{xy}=I_{xz}=0\).

이다. 따라서 강체에서 좌표계 \(\{a\}\) 에 대해 두 개의 대칭 평면이 있으면 세 개의 관성곱이 모두 \(0\) 되고 관성행렬 \([I_B^a ]\) 는 다음과 같이 대각 행렬이 된다.

 

\[ [I_B^a ]= \begin{bmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{bmatrix} \tag{3} \]

 

이 때 관성 다이아딕은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ \bar{I}_B= I_{xx} \hat{a}_1 \hat{a}_1+I_{yy} \hat{a}_2 \hat{a}_2+I_{zz} \hat{a}_3 \hat{a}_3 \tag{4} \]

 

그리고 이 때의 좌표축을 관성 주축(principal axes of inertia)이라고 한다. 관성 주축은 꼭 대칭면을 갖는 강체에 대해서만 존재하는 것은 아니고 임의의 형상을 갖는 강체에 대해서도 항상 존재한다. 그러면 임의의 형상에 대해서 관성 주축을 구해보자.

 

 

동일한 원점 \(B\) 를 갖고 강체에 고정된 두 좌표계 \(\{a\}\) 와 \(\{b\}\) 에 대해서 관성행렬의 변환 관계식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/243).

 

\[ [I_B^a ]=C_b^a [I_B^b ] (C_b^a )^T \tag{5} \]

 

DCM \(C_b^a\) 는 단위 직각행렬(orthonormal matrix)이므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다 (https://pasus.tistory.com/83).

 

\[ [I_B^a ] C_b^a=C_b^a [I_B^b ] \tag{6} \]

 

한편 관성행렬 \([I_B^a ]\) 는 정정행렬이므로 항상 대각화가 가능하며 서로 직각인 실수 고유벡터와 양의 고유값을 가지므로 다음과 같이 쓸 수 있다 (https://pasus.tistory.com/14).

 

\[ [I_B^a ]V=V \Lambda \tag{7} \]

 

여기서 \(\Lambda\) 는 행렬 \([I_B^a ]\) 의 고유값 \(I_1, I_2, I_3\) 을 성분으로 하는 대각행렬이며 \(V\) 는 고유값에 대응하는 고유벡터 \(\mathbf{v}\) 를 열(column)로 하는 행렬으로서 단위 직각행렬이다.

 

\[ \Lambda = \begin{bmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{bmatrix}, \ \ V= \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \end{bmatrix} \tag{8} \]

 

식 (7)과 (6)을 비교하면 \(C_b^a\) 는 \(V\), \([I_B^b ]\) 는 \(\Lambda\) 에 대응하므로, 관성 주축을 찾는 문제는 다음과 같이 관성행렬 \([I_B^a ]\) 의 고유값 문제로 귀결됨을 알 수 있다.

 

\[ [I_B^a ] \mathbf{v}_i=I_i \mathbf{v}_i, \ \ \ i=1, 2, 3 \tag{9} \]

 

그러면 좌표계 \(\{b\}\) 는 주축이 되며 관성 다이아딕 \(\bar{I}_B\) 는 다음과 같이 주축으로 표현할 수 있다.

 

\[ \bar{I}_B=I_1 \hat{b}_1 \hat{b}_1+I_2 \hat{b}_2 \hat{b}_2+I_3 \hat{b}_3 \hat{b}_3 \tag{10} \]

 

여기서 주축 관성모멘트 \(I_1, I_2, I_3\) 은 \([I_B^a ]\) 의 고유값이다. 좌표계 \(\{a\}\) 에서 좌표계 \(\{b\}\) 로의 DCM \(C_b^a\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ C_b^a=\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \end{bmatrix} \tag{11} \]

 

좌표축을 관성 주축으로 정하면 동역학 식이 매우 간단해 지기 때문에, 보통 응용 문제에서는 관성 주축으로 적절한 좌표 변환이 이미 수행되었다고 가정하는 경우가 많다.