관성 주축 (Principal Axes of Inertia)

강체에 고정된 임의의 점 B를 원점으로 하고 강체에 고정된 좌표계 $\{a\}$ 에 관한 관성행렬(inertia matrix)은 다음 식으로 계산할 수 있다 (https://pasus.tistory.com/191).

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& [I_B^a]=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]\end{array}$$

 

여기서 $x,y,z$ 는 좌표계 $\{a\}$ 의 원점에서 강체 내의 임의의 점까지의 위치 좌표이고, 즉 $\overrightarrow{r}=x{\hat{a}}_1+y{\hat{a}}_2+z{\hat{a}}_z$, 행렬 $[I_B^a]$ 의 구성 성분은 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& & I_{xx}=\int (y^2+z^2)dm,I_{xy}=-\int xydm,I_{xz}=-\int xzdm\\ & I_{yx}=-\int yxdm,I_{yy}=\int (x^2+z^2)dm,I_{yz}=-\int yzdm\\ \\ & I_{zx}=-\int zxdm,I_{zy}=-\int zydm,I_{zz}=\int (x^2+y^2)dm\end{array}$$

 

 

식 (1)에서 $I_{xx},I_{yy},I_{zz}$ 를 관성모멘트(MOI, moment of inertia) 라고 하고, $I_{xy},I_{xz},I_{yx}$, $I_{yz},I_{zx},I_{zy}$ 를 관성곱(product of inertia)이라고 한다. 만약 좌표계 $\{a\}$ 의 원점 $B$ 가 강체의 질량중심 점이라면 관련 용어에 모두 중심(central)이라는 단어를 추가한다. 즉 중심 관성 다이아딕(central inertia dyadic), 중심 관성행렬, 중심 관성스칼라, 중심 관성모멘트 등으로 표기한다. 또한 질량중심점은 다른 점과 구별하기 위하여 위첨자 $\ast$ 를 붙인다. 즉 원점 $B$ 가 질량중심점 이라면 $B^{\ast }$ 로 쓴다.

 

 

식 (2)에 의하면 $I_{xy}=I_{yx}$, $I_{xz}=I_{zx}$, $I_{yz}=I_{zy}$ 이므로 관성행렬은 대칭행렬이며 따라서 $[I_B^a]$ 에는 9개가 아닌 6개의 독립적인 구성 성분이 있다. 또한 관성곱 $I_{xy},I_{xz},I_{yz}$ 는 양수, 음수 또는 $0$ 이 될 수 있지만 관성모멘트 $I_{xx},I_{yy},I_{zz}$ 는 항상 양수이므로 관성행렬은 정정행렬(positive-definite matrix)이다.

만약 $xy$ 평면이 대칭 평면이면 좌표 $x$ 및 $y$ 에 대해 좌표 $+z$ 및 $-z$ 에 동일한 질량 요소가 있으므로, 이는 적분 함수에서 $z$ 와의 관성곱이 사라진다는 것을 의미한다.

 

 

$xz$ 또는 $yz$ 가 대칭 평면인 경우에도 마찬가지다. 요약하면,

    만약 $xy$ 평면이 대칭 평면이면, $I_{xz}=I_{yz}=0$.
    만약 $xz$ 평면이 대칭 평면이면, $I_{xy}=I_{yz}=0$.
    만약 $yz$ 평면이 대칭 평면이면, $I_{xy}=I_{xz}=0$.

이다. 따라서 강체에서 좌표계 $\{a\}$ 에 대해 두 개의 대칭 평면이 있으면 세 개의 관성곱이 모두 $0$ 되고 관성행렬 $[I_B^a]$ 는 다음과 같이 대각 행렬이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& [I_B^a]=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& 0& 0\\ 0& I_{yy}& 0\\ 0& 0& I_{zz}\end{array}\right]\end{array}$$

 

이 때 관성 다이아딕은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\overline{I}}_B=I_{xx}{\hat{a}}_1{\hat{a}}_1+I_{yy}{\hat{a}}_2{\hat{a}}_2+I_{zz}{\hat{a}}_3{\hat{a}}_3\end{array}$$

 

그리고 이 때의 좌표축을 관성 주축(principal axes of inertia)이라고 한다. 관성 주축은 꼭 대칭면을 갖는 강체에 대해서만 존재하는 것은 아니고 임의의 형상을 갖는 강체에 대해서도 항상 존재한다. 그러면 임의의 형상에 대해서 관성 주축을 구해보자.

 

 

동일한 원점 $B$ 를 갖고 강체에 고정된 두 좌표계 $\{a\}$ 와 $\{b\}$ 에 대해서 관성행렬의 변환 관계식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/243).

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& [I_B^a]=C_b^a[I_B^b](C_b^a{)}^T\end{array}$$

 

DCM $C_b^a$ 는 단위 직각행렬(orthonormal matrix)이므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다 (https://pasus.tistory.com/83).

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& [I_B^a]C_b^a=C_b^a[I_B^b]\end{array}$$

 

한편 관성행렬 $[I_B^a]$ 는 정정행렬이므로 항상 대각화가 가능하며 서로 직각인 실수 고유벡터와 양의 고유값을 가지므로 다음과 같이 쓸 수 있다 (https://pasus.tistory.com/14).

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& [I_B^a]V=V\mathrm{\Lambda }\end{array}$$

 

여기서 $\mathrm{\Lambda }$ 는 행렬 $[I_B^a]$ 의 고유값 $I_1,I_2,I_3$ 을 성분으로 하는 대각행렬이며 $V$ 는 고유값에 대응하는 고유벡터 $\mathbf{v}$ 를 열(column)로 하는 행렬으로서 단위 직각행렬이다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{ccc}{I}_1& 0& 0\\ 0& I_2& 0\\ 0& 0& I_3\end{array}\right],V=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]\end{array}$$

 

식 (7)과 (6)을 비교하면 $C_b^a$ 는 $V$, $[I_B^b]$ 는 $\mathrm{\Lambda }$ 에 대응하므로, 관성 주축을 찾는 문제는 다음과 같이 관성행렬 $[I_B^a]$ 의 고유값 문제로 귀결됨을 알 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& [I_B^a]{\mathbf{v}}_i=I_i{\mathbf{v}}_i,i=1,2,3\end{array}$$

 

그러면 좌표계 $\{b\}$ 는 주축이 되며 관성 다이아딕 ${\overline{I}}_B$ 는 다음과 같이 주축으로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\overline{I}}_B=I_1{\hat{b}}_1{\hat{b}}_1+I_2{\hat{b}}_2{\hat{b}}_2+I_3{\hat{b}}_3{\hat{b}}_3\end{array}$$

 

여기서 주축 관성모멘트 $I_1,I_2,I_3$ 은 $[I_B^a]$ 의 고유값이다. 좌표계 $\{a\}$ 에서 좌표계 $\{b\}$ 로의 DCM $C_b^a$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& C_b^a=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]\end{array}$$

 

좌표축을 관성 주축으로 정하면 동역학 식이 매우 간단해 지기 때문에, 보통 응용 문제에서는 관성 주축으로 적절한 좌표 변환이 이미 수행되었다고 가정하는 경우가 많다.