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항공우주/동역학

오일러의 회전 정리 (Euler’s Rotation Theorem)

by 세인트워터멜론 2022. 3. 22.

오일러각 좌표변환 방법에서 알아본 회전축은 좌표계의 \(x\) 축, \(y\) 축, \(z\) 축이었다. 하지만 좌표계를 구성하는 좌표축만이 아니라 임의의 축, 즉 임의의 방향을 중심으로 좌표계를 회전시킬 수도 있다.

 

 

단위벡터는 크기가 \(1\) 인 벡터이기 때문에 방향을 표시하는데 자주 쓰인다. 여기서도 회전축 방향을 정하는데 단위벡터를 이용하기로 하고 기호로 \(\hat{p}\) 으로 표시하기로 한다. 좌표계 \(\{a\}\) 를 회전축 \(\hat{p}\) 축을 중심으로 \(\beta\) 만큼 회전시키면 새로운 좌표계로 변환되는데 이 좌표계를 \(\{b\}\) 라고 하자.

 

 

그러면 그림에서 보듯이 좌표계 \(\{a\}\) 의 좌표축과 회전축 사이의 각도는 좌표계 \(\{b\}\) 의 좌표축과 회전축 사이의 각도와 같다. \(\hat{p}\) 가 회전축이므로 이를 수식으로 표현하면 \(\hat{a}_i \cdot \hat{p}= \hat{b}_i \cdot \hat{p}, \ i=1,2,3\) 이다. 단위벡터 \(\hat{p}\) 을 좌표계 \(\{a\}\) 와 좌표계 \(\{b\}\) 로 표현하면 각각 \(\mathbf{p}^a\) 와 \(\mathbf{p}^b\) 인데, 이 경우에는 \(\mathbf{p}^a=\mathbf{p}^b\) 가 된다. 이제 좌표계 \(\{a\}\) 에서 좌표계 \(\{b\}\) 로의 DCM \(C_b^a\) 를 이용하여 \(\mathbf{p}^a\) 와 \(\mathbf{p}^b\) 의 관계식을 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{p}^a &=C_b^a \mathbf{p}^b \tag{1} \\ \\ &=C_b^a \mathbf{p}^a \end{align} \]

 

\( C_b^a\) 는 \(3 \times 3\) 행렬이고 \(\mathbf{p}^a\) 는 \( 3 \times 1\) 벡터다. 위 식이 말하는 것은 무엇일까? 행렬 \(C_b^a\) 는 고유값(eigenvalue) \(+1\) 을 갖고 그에 해당하는 고유벡터(eigenvector)는 \(\mathbf{p}^a\) 라는 것이다.

그렇다면 모든 DCM이 고유값 \(+1\) 을 갖고 그에 해당하는 고유벡터는 회전축이 될까? 좌표계 \(\{a\}\) 에서 좌표계 \(\{b\}\) 로의 DCM \(C_b^a\) 의 고유값 \(+1\) 에 해당하는 고유벡터가 한번의 회전을 통하여 좌표계 \(\{a\}\) 에서 좌표계 \(\{b\}\) 로 변환시킬 수 있는 회전축이라는 뜻으로 일반화시켜도 될까? DCM은 연쇄법칙이 적용되므로 다양한 좌표축을 중심으로 여러 번의 회전을 통하여얻은 좌표변환도 한 개의 행렬로 표현할 수 있다. 만약 그렇다면,

"모든 좌표변환은 DCM의 고유값 \(+1\) 에 해당하는 고유벡터를 중심으로 한 번의 회전으로 얻은 좌표변환과 같다."

라고 해도 될 것이다. 이것이 오일러의 회전 정리(Euler's rotation theorem)다.

그럼 이를 증명해 보도록 하자. 증명 과정에서 표기를 단순하게 하기 위하여 DCM에 좌표계를 명기하지 않고 그냥 \(C\) 로 쓰겠다. 먼저 DCM은 단위 직교 행렬이라는 특성이 있다. 즉

 

\[ C^T C=I \tag{2} \]

 

이다. 단위 직교 행렬의 행렬식(determinant)은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} 1 &= det⁡(C^T C)=det⁡(C^T ) \ det⁡(C) \tag{3} \\ \\ &= \left( det⁡(C) \right)^2 \end{align} \]

 

따라서 \(det⁡(C)= \pm 1\) 이다. 하지만 DCM의 경우는 \(det⁡(C)=1\) 이다. 그래서 DCM을 단위 직교 행렬의 특수한 종류(SO, special orthogonal group)라고 한다. \(det⁡(C)=-1\) 인 경우 행렬 \(C\) 를 회전반사(rotation-reflection) 행렬 또는 부적절한 회전(improper rotation) 행렬이라고 한다.

 

 

\(det⁡(C)=1\) 이면, 다음식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} det⁡(C-I) &= det⁡(C-CC^T ) \tag{4} \\ \\ &=det⁡(C(I-C^T ))=det⁡(C) \ det⁡(I-C^T ) \\ \\ &= -det⁡(C) \ det⁡(C^T-I) \\ \\ &= -det⁡(C-I) \end{align} \]

 

따라서 \(det⁡(C-I)=0\) 이 된다. 이는 곧 다음식을 만족하는 \(\mathbf{v} \ne 0\) 인 어떤 벡터가 존재함을 의미한다.

 

\[ C \mathbf{v} = \mathbf{v} \tag{5} \]

 

따라서 행렬 \(C\) 는 값이 \(+1\) 인 고유값을 가지며 그에 해당하는 고유벡터는 \(\mathbf{v}\) 다. 벡터 \(\mathbf{v}\) 는 DCM \(C\)로 주어지는 좌표변환에도 그 값이 변하지 않으므로 회전축이다. 이로써 오일러의 회전 정리가 증명되었다.

그럼 DCM의 행렬식이 \(+1\) 임을 증명해 보자. DCM \(C_b^a\) 의 정의에 의하면,

 

\[ C_b^a= \begin{bmatrix} \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_1 & \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_2 & \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_3 \\ \hat{a}_2 \cdot \hat{b}_1 & \hat{a}_2 \cdot \hat{b}_2 & \hat{a}_2 \cdot \hat{b}_3 \\ \hat{a}_3 \cdot \hat{b}_1 & \hat{a}_3 \cdot \hat{b}_2 & \hat{a}_3 \cdot \hat{b}_3 \end{bmatrix} \tag{6} \]

 

이다. 따라서 DCM의 첫 번째 열은 \(\hat{b}_1\) 을 좌표계 \(\{a\}\) 로 표현한 것이므로 \(\mathbf{b}_1^a\) 로 쓸 수 있고, 두 번째 열, 세 번째 열도 마찬가지로 각각 \(\mathbf{b}_2^a\), \(\mathbf{b}_3^a\) 로 쓸 수 있다. 즉 DCM은 각 열이 좌표계 \(\{b\}\) 의 축을 이루는 각각의 단위벡터를 좌표계 \(\{a\}\) 로 표현한 열벡터로 구성되어 있다. 따라서 다음 식이 성립한다.

 

\[ C_b^a= \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^a & \mathbf{b}_2^a & \mathbf{b}_3^a \end{bmatrix} \tag{7} \]

 

한편, 행렬식은 행렬의 각 열벡터를 이용하면 다음과 같이 계산되므로 DCM의 행렬식은 \(+1\) 이 됨을 알 수 있다.

 

\[ \begin{align} det⁡(C_b^a ) &= \mathbf{b}_1^a \cdot \left( \mathbf{b}_2^a \times \mathbf{b}_3^a \right) \tag{8} \\ \\ &= \mathbf{b}_1^a \cdot \mathbf{b}_1^a=1 \end{align} \]

 

 

 

방향코사인행렬, 오일러각, 그리고 쿼터니언

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