오일러의 회전 정리 (Euler’s Rotation Theorem)

오일러각 좌표변환 방법에서 알아본 회전축은 좌표계의 $x$ 축, $y$ 축, $z$ 축이었다. 하지만 좌표계를 구성하는 좌표축만이 아니라 임의의 축, 즉 임의의 방향을 중심으로 좌표계를 회전시킬 수도 있다.

 

 

단위벡터는 크기가 $1$ 인 벡터이기 때문에 방향을 표시하는데 자주 쓰인다. 여기서도 회전축 방향을 정하는데 단위벡터를 이용하기로 하고 기호로 $\hat{p}$ 으로 표시하기로 한다. 좌표계 $\{a\}$ 를 회전축 $\hat{p}$ 축을 중심으로 $\beta$ 만큼 회전시키면 새로운 좌표계로 변환되는데 이 좌표계를 $\{b\}$ 라고 하자.

 

 

그러면 그림에서 보듯이 좌표계 $\{a\}$ 의 좌표축과 회전축 사이의 각도는 좌표계 $\{b\}$ 의 좌표축과 회전축 사이의 각도와 같다. $\hat{p}$ 가 회전축이므로 이를 수식으로 표현하면 ${\hat{a}}_i\cdot \hat{p}={\hat{b}}_i\cdot \hat{p},i=1,2,3$ 이다. 단위벡터 $\hat{p}$ 을 좌표계 $\{a\}$ 와 좌표계 $\{b\}$ 로 표현하면 각각 ${\mathbf{p}}^a$ 와 ${\mathbf{p}}^b$ 인데, 이 경우에는 ${\mathbf{p}}^a={\mathbf{p}}^b$ 가 된다. 이제 좌표계 $\{a\}$ 에서 좌표계 $\{b\}$ 로의 DCM $C_b^a$ 를 이용하여 ${\mathbf{p}}^a$ 와 ${\mathbf{p}}^b$ 의 관계식을 쓰면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& {\mathbf{p}}^a& =C_b^a{\mathbf{p}}^b\\ & =C_b^a{\mathbf{p}}^a\end{array}$$

 

$C_b^a$ 는 $3\times 3$ 행렬이고 ${\mathbf{p}}^a$ 는 $3\times 1$ 벡터다. 위 식이 말하는 것은 무엇일까? 행렬 $C_b^a$ 는 고유값(eigenvalue) $+1$ 을 갖고 그에 해당하는 고유벡터(eigenvector)는 ${\mathbf{p}}^a$ 라는 것이다.

그렇다면 모든 DCM이 고유값 $+1$ 을 갖고 그에 해당하는 고유벡터는 회전축이 될까? 좌표계 $\{a\}$ 에서 좌표계 $\{b\}$ 로의 DCM $C_b^a$ 의 고유값 $+1$ 에 해당하는 고유벡터가 한번의 회전을 통하여 좌표계 $\{a\}$ 에서 좌표계 $\{b\}$ 로 변환시킬 수 있는 회전축이라는 뜻으로 일반화시켜도 될까? DCM은 연쇄법칙이 적용되므로 다양한 좌표축을 중심으로 여러 번의 회전을 통하여얻은 좌표변환도 한 개의 행렬로 표현할 수 있다. 만약 그렇다면,

"모든 좌표변환은 DCM의 고유값 $+1$ 에 해당하는 고유벡터를 중심으로 한 번의 회전으로 얻은 좌표변환과 같다."

라고 해도 될 것이다. 이것이 오일러의 회전 정리(Euler's rotation theorem)다.

그럼 이를 증명해 보도록 하자. 증명 과정에서 표기를 단순하게 하기 위하여 DCM에 좌표계를 명기하지 않고 그냥 $C$ 로 쓰겠다. 먼저 DCM은 단위 직교 행렬이라는 특성이 있다. 즉

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& C^{T}C=I\end{array}$$

 

이다. 단위 직교 행렬의 행렬식(determinant)은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& 1& =det(C^{T}C)=det(C^T)det(C)\\ & ={(det(C))}^2\end{array}$$

 

따라서 $det(C)=\pm 1$ 이다. 하지만 DCM의 경우는 $det(C)=1$ 이다. 그래서 DCM을 단위 직교 행렬의 특수한 종류(SO, special orthogonal group)라고 한다. $det(C)=-1$ 인 경우 행렬 $C$ 를 회전반사(rotation-reflection) 행렬 또는 부적절한 회전(improper rotation) 행렬이라고 한다.

 

 

$det(C)=1$ 이면, 다음식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& det(C-I)& =det(C-C{C}^T)\\ & =det(C(I-C^T))=det(C)det(I-C^T)\\ \\ & =-det(C)det(C^T-I)\\ \\ & =-det(C-I)\end{array}$$

 

따라서 $det(C-I)=0$ 이 된다. 이는 곧 다음식을 만족하는 $\mathbf{v}\ne 0$ 인 어떤 벡터가 존재함을 의미한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& C\mathbf{v}=\mathbf{v}\end{array}$$

 

따라서 행렬 $C$ 는 값이 $+1$ 인 고유값을 가지며 그에 해당하는 고유벡터는 $\mathbf{v}$ 다. 벡터 $\mathbf{v}$ 는 DCM $C$로 주어지는 좌표변환에도 그 값이 변하지 않으므로 회전축이다. 이로써 오일러의 회전 정리가 증명되었다.

그럼 DCM의 행렬식이 $+1$ 임을 증명해 보자. DCM $C_b^a$ 의 정의에 의하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& C_b^a=\left[\begin{array}{ccc}{\hat{a}}_1\cdot {\hat{b}}_1& {\hat{a}}_1\cdot {\hat{b}}_2& {\hat{a}}_1\cdot {\hat{b}}_3\\ {\hat{a}}_2\cdot {\hat{b}}_1& {\hat{a}}_2\cdot {\hat{b}}_2& {\hat{a}}_2\cdot {\hat{b}}_3\\ {\hat{a}}_3\cdot {\hat{b}}_1& {\hat{a}}_3\cdot {\hat{b}}_2& {\hat{a}}_3\cdot {\hat{b}}_3\end{array}\right]\end{array}$$

 

이다. 따라서 DCM의 첫 번째 열은 ${\hat{b}}_1$ 을 좌표계 $\{a\}$ 로 표현한 것이므로 ${\mathbf{b}}_1^a$ 로 쓸 수 있고, 두 번째 열, 세 번째 열도 마찬가지로 각각 ${\mathbf{b}}_2^a$, ${\mathbf{b}}_3^a$ 로 쓸 수 있다. 즉 DCM은 각 열이 좌표계 $\{b\}$ 의 축을 이루는 각각의 단위벡터를 좌표계 $\{a\}$ 로 표현한 열벡터로 구성되어 있다. 따라서 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& C_b^a=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{b}}_1^a& {\mathbf{b}}_2^a& {\mathbf{b}}_3^a\end{array}\right]\end{array}$$

 

한편, 행렬식은 행렬의 각 열벡터를 이용하면 다음과 같이 계산되므로 DCM의 행렬식은 $+1$ 이 됨을 알 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& det(C_b^a)& ={\mathbf{b}}_1^a\cdot ({\mathbf{b}}_2^a\times {\mathbf{b}}_3^a)\\ & ={\mathbf{b}}_1^a\cdot {\mathbf{b}}_1^a=1\end{array}$$

 

 

방향코사인행렬, 오일러각, 그리고 쿼터니언