강체의 운동방정식 - 4

지금까지 질량중심을 기준으로 강체(rigid body)의 운동방정식을 유도하였다. 이번에는 강체에 고정되어 있는 임의의 점 $A$ 에 대해서 강체의 운동방정식을 유도해 보도록 하겠다.

 

 

임의의 점 $A$ 에 대한 파티클 시스템(systems of particles)의 운동방정식은 다음과 같았다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & \sum _{j=1}^n{\overrightarrow{F}}_j=m\frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_G}{d{t}^2}=m\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{v}}_G}{dt}\\ \text{(2)}& & \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_A}{dt}=m\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\times {\overrightarrow{v}}_G+\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{M}}_{jA}\\ & {\overrightarrow{H}}_A=\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/A}\times m_j{\overrightarrow{v}}_j\\ \\ \text{(3)}& & T=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{m}_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_j}{dt}\cdot \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_j}{dt}\end{array}$$

 

여기서 $G$ 는 질량중심점이다.

 

 

식 (1)~(3)의 합(sum) 기호를 적분 기호로 바꾸면 강체에 적용할 수 있다. 다음 그림과 같이 강체를 구성하는 미소(infinitesimal) 질점 $dm$ 에 작용하는 미소 외력을 $d\overrightarrow{F}$ 라고 하자. 그리고 강체에 고정되어 있는 임의의 점 $A$ 를 원점으로 하고 강체에 고정된 좌표계를 좌표계 $\{a\}$ 라고 하자.

 

 

그림에서 ${\overrightarrow{r}}_A$ 는 관성좌표계 $\{i\}$ 의 원점에서 점 $A$ 까지의 위치벡터, ${\overrightarrow{r}}_G$ 는 관성좌표계 $\{i\}$ 의 원점에서 질량중심까지의 위치벡터, ${\overrightarrow{r}}_{G/A}$ 는 점 $A$ 에서 질량중심 $G$ 까지의 위치벡터, ${\overrightarrow{r}}_p$ 는 관성좌표계의 원점에서 미소 질점 $dm$ 까지의 위치벡터, $\overrightarrow{r}$ 는 질량중심에서 미소 질점 $dm$ 까지의 위치벡터, $\overrightarrow{\rho }$ 는 좌표계 $\{a\}$ 의 원점에서 미소 질점 $dm$ 까지의 위치벡터이다.

그러면 임의의 점 $A$ 와 질량중심 $G$ 의 속도 관계식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& {\overrightarrow{v}}_G& =\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_G}{dt}=\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_A}{dt}+\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\\ & ={\overrightarrow{v}}_A+\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\end{array}$$

 

BKE(Basic Kinematic Equation)를 적용하면 위 식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\overrightarrow{v}}_G={\overrightarrow{v}}_A+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times {\overrightarrow{r}}_{G/A}\end{array}$$

 

여기서 ${\overrightarrow{r}}_{G/A}$ 는 좌표계 $\{a\}$ 에서 고정된 벡터임을 이용하였다. 식 (1)과 (5)로부터 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& \overrightarrow{F}& =\int d\overrightarrow{F}=m\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{v}}_G}{dt}\\ & =m(\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{v}}_A}{dt}+\frac{{}^{i}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}\times {\overrightarrow{r}}_{G/A}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt})\end{array}$$

 

BKE를 이용하면 식 (6)을 다음과 같이 전개할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \overrightarrow{F}=m({\overrightarrow{a}}_A+\frac{{}^{a}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}\times {\overrightarrow{r}}_{G/A}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times {\overrightarrow{r}}_{G/A}))\end{array}$$

 

여기서 $\frac{{}^{a}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}$ 는 관성좌표계 $\{i\}$ 에 대한 좌표계 $\{a\}$ 의 각가속도 벡터다. ${}^i{\overrightarrow{\omega }}^a$ 의 특성상 $\frac{{}^{i}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}=\frac{{}^{a}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}$ 가 성립한다. 식 (7)을 병진 운동방정식(translational equation of motion)이라고 한다.

한편, 식 (2)로부터 강체에 작용하는 외력에 의해 생기는 점 $A$ 에 관한 모멘트와 각운동량의 관계식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& {\overrightarrow{M}}_A& =\int d{\overrightarrow{M}}_A=\int \overrightarrow{r}\times d\overrightarrow{F}\\ & =\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_A}{dt}-m\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\times {\overrightarrow{v}}_G\\ \\ & =\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_A}{dt}-m\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\times ({\overrightarrow{v}}_A+\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt})\\ \\ & =\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_A}{dt}+{\overrightarrow{v}}_A\times m\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\end{array}$$

 

 

 

식 (8)에서 강체의 점 $A$ 에 대한 강체의 각운동량 ${\overrightarrow{H}}_A$ 는 다음과 같이 구할 수 있다,

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& {\overrightarrow{H}}_A& =\int \overrightarrow{\rho }\times \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_p}{dt}dm\\ & =\int \overrightarrow{\rho }\times (\frac{{}^d{\overrightarrow{r}}_A}{dt}+\frac{{}^{i}d\overrightarrow{\rho }}{dt}dm)\\ \\ & =\int ({\overrightarrow{r}}_{G/A}+\overrightarrow{r})dm\times {\overrightarrow{v}}_A+\int \overrightarrow{\rho }\times \frac{{}^{i}d\overrightarrow{\rho }}{dt}dm\\ \\ & ={\overrightarrow{r}}_{G/A}\times m{\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{H}}_{A/A}\end{array}$$

 

여기서 BKE를 사용하여 ${\overrightarrow{H}}_{A/A}$ 를 전개하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\overrightarrow{H}}_{A/A}=\int \overrightarrow{\rho }\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times \overrightarrow{\rho })dm\end{array}$$

 

다음과 같은 관계식을 이용하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& \overrightarrow{\rho }\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \overrightarrow{\rho })& =(\overrightarrow{\rho }\cdot \overrightarrow{\rho }){}^i{\overrightarrow{\omega }}^a-\overrightarrow{r}(\overrightarrow{r}\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a)\\ & =({\rho }^2\overline{U}-\overrightarrow{\rho }\overrightarrow{\rho })\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\end{array}$$

 

식 (10)을 다음과 같이 간단하게 표기할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& {\overrightarrow{H}}_{A/A}& =\int ({\rho }^2\overline{U}-\overrightarrow{\rho }\overrightarrow{\rho })\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^{a}dm\\ & ={\overline{I}}_A\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\end{array}$$

 

여기서 $\rho =|\overrightarrow{\rho }|$ 이며,

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\overline{I}}_A=\int ({\rho }^2\overline{U}-\overrightarrow{\rho }\overrightarrow{\rho })dm\end{array}$$

 

이다. 식 (11)에서 $\overline{U}$ 를 단위 다이아딕(unit dyadic)이라고 하며 좌표계 $\{a\}$ 로 표현하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \overline{U}={\hat{a}}_1{\hat{a}}_1+{\hat{a}}_2{\hat{a}}_2+{\hat{a}}_3{\hat{a}}_3\end{array}$$

 

한편 식 (13)의 ${\overline{I}}_A$ 를 점 $A$ 에 관한 관성 다이아딕(inertia dyadic)이라고 한다.

식 (9)의 각운동량 ${\overrightarrow{H}}_A$ 를 미분하고 BKE를 적용하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_A}{dt}& =\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\times m{\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{r}}_{G/A}\times m{\overrightarrow{a}}_A+\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_{A/A}}{dt}\\ & =({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times {\overrightarrow{r}}_{G/A})\times m{\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{r}}_{G/A}\times m{\overrightarrow{a}}_A\\ \\ & +\frac{{}^{a}d{\overrightarrow{H}}_{A/A}}{dt}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times {\overrightarrow{H}}_{A/A}\end{array}$$

 

여기서 식 (12)를 이용하면 식 (15)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(16)}& \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_A}{dt}& =({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times {\overrightarrow{r}}_{G/A})\times m{\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{r}}_{G/A}\times m{\overrightarrow{a}}_A\\ & +{\overline{I}}_A\cdot \frac{{}^{a}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times ({\overline{I}}_A\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a)\end{array}$$

 

이제 식 (16)을 (8)에 대입하면 모멘트 ${\overrightarrow{M}}_A$ 의 식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(17)}& {\overrightarrow{M}}_A& =({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times {\overrightarrow{r}}_{G/A})\times m{\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{r}}_{G/A}\times m{\overrightarrow{a}}_A+{\overline{I}}_A\cdot \frac{{}^{a}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}\\ & +{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times ({\overline{I}}_A\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a)+{\overrightarrow{v}}_A\times m({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times {\overrightarrow{r}}_{G/A})\\ \\ & ={\overrightarrow{r}}_{G/A}\times m{\overrightarrow{a}}_A+{\overline{I}}_A\cdot \frac{{}^{a}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times ({\overline{I}}_A\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a)\end{array}$$

 

식 (17)을 회전 운동방정식(rotational equation of motion)식이라고 한다.

이제, 식 (3)을 이용하여 강체의 운동에너지를 구해보자. 식 (3)을 강체에 적용하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(18)}& T=\frac{1}{2}\int \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_p}{dt}\cdot \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_p}{dt}dm\end{array}$$

 

이 된다. 여기서 BKE를 사용하여 위 식의 속도벡터를 전개하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(19)}& \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_p}{dt}& =\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_A}{dt}+\frac{{}^{i}d\overrightarrow{\rho }}{dt}\\ & ={\overrightarrow{v}}_A+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times \overrightarrow{\rho }\end{array}$$

 

식 (19)를 (18)에 대입하면 운동에너지는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(20)}& T& =\frac{1}{2}\int {\overrightarrow{v}}_A\cdot {\overrightarrow{v}}_A+2{\overrightarrow{v}}_A\cdot ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times \overrightarrow{\rho })+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\cdot (\overrightarrow{\rho }\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times \overrightarrow{\rho }))dm\\ & =\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}_A\cdot {\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{v}}_A\cdot ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times \int \overrightarrow{\rho }dm)+\frac{1}{2}{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\cdot (\int \overrightarrow{\rho }\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times \overrightarrow{\rho })dm)\\ \\ & =\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}_A\cdot {\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{v}}_A\cdot ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times m{\overrightarrow{r}}_{G/A})+\frac{1}{2}{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\cdot (\int \overrightarrow{\rho }\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times \overrightarrow{\rho })dm)\end{array}$$

 

식 (10)과 (12)에 의하면 식 (20)은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(21)}& T& =\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}_A\cdot {\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{v}}_A\cdot ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times m{\overrightarrow{r}}_{G/A})+\frac{1}{2}{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\cdot {\overrightarrow{H}}_{A/A}\\ & =\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}_A\cdot {\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{v}}_A\cdot ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times m{\overrightarrow{r}}_{G/A})+\frac{1}{2}{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\cdot ({\overline{I}}_A\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a)\end{array}$$

 

지금까지 임의의 점 A를 기준으로 강체의 운동방정식을 유도하였다. 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(22)}& & \overrightarrow{F}=m({\overrightarrow{a}}_A+\frac{{}^{a}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}\times {\overrightarrow{r}}_{G/A}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times {\overrightarrow{r}}_{G/A}))\\ & {\overrightarrow{M}}_A={\overrightarrow{r}}_{G/A}\times m{\overrightarrow{a}}_A+{\overline{I}}_A\cdot \frac{{}^{a}d{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a}{dt}+{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times ({\overline{I}}_A\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a)\\ \\ & T=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}_A\cdot {\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{v}}_A\cdot ({}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\times m{\overrightarrow{r}}_{G/A})+\frac{1}{2}{}^i{\overrightarrow{\omega }}^a\cdot ({\overline{I}}_A\cdot {}^i{\overrightarrow{\omega }}^a)\end{array}$$

 

이와 같이 임의의 점 $A$ 에 대해서 유도한 강체의 운동방정식이 질량중심을 기준으로 유도한 강체의 운동방정식보다 훨씬 복잡하다. 또한 회전 운동방정식과 병진 운동방정식이 서로 연결(coupling) 되어 있다.