포텐셜 유동 (Potential flow)

유동장의 모든 지점에서 vorticity(와도)가 \(0\) 이면 비회전 유동 (irrotational flow)이라고 한다 (https://pasus.tistory.com/207).

 

\[ \nabla \times \mathbf{V}=0 \tag{1} \]

 

벡터의 미분 관계식에 의하면 속도벡터가 비회전 벡터장(irrotational vector filed)이라면 속도벡터는 어떤 스칼라장(scalar field) \(\phi(x,y,z,t)\) 의 그래디언트(gradient)와 같다. 즉, 다음 식이 성립한다.

 

\[ \mathbf{V}(x,y,z,t)= \nabla \phi(x,y,z,t) \tag{2} \]

 

물론 그 반대도 성립한다. 즉 속도벡터가 어떤 스칼라장의 그래디언트라면 속도벡터장은 비회전이다. 여기서 스칼라장 \(\phi(x,y,z,t)\) 를 속도 포텐셜(velocity potential)이라고 하며 위치와 시간의 함수다. 참고로 식 (2)에 마이너스(\(-\))를 붙여서 \( \mathbf{V}=-\nabla \phi\) 로 정의하는 경우도 있다.

한편 비압축성(incompressible) 유동의 연속방정식은 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/161).

 

\[ \nabla \cdot \mathbf{V}=0 \tag{3} \]

 

식 (2)와 (3)에 의하면, 비회전, 비압축성 유동은 다음 식이 성립한다.

 

\[ \nabla \cdot (\nabla \phi)= \nabla^2 \phi=0 \tag{4} \]

 

여기서 \(\nabla^2\) 는 라플라시안(Laplacian)이며, 식 (4)를 를 라플라스 방정식(Laplace's equation)이라고 한다.

정리하면 비회전, 비압축성 유동은 라플라스 방정식을 만족하는 속도 포텐셜이 존재하며 또한 반대로 라플라스 방정식의 모든 해는 비회전, 비압축성 유동의 속도 포텐셜을 나타낸다.

 

 

라플라스 방정식은 여러가지 좌표계로 표현될 수 있다.

 

 

먼저 직교좌표계(Cartesian coordinates)로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \mathbf{V}=u \mathbf{i}+v \mathbf{j}+w \mathbf{k}= \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{k}=\nabla \phi \tag{5} \\ \\ & \nabla ^2 \phi= \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}=0 \end{align} \]

 

원통좌표계(cylindrical coordinates)로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \mathbf{V}=V_r \mathbf{e}_r+V_\theta \mathbf{e}_\theta +V_z \mathbf{k}=\frac{\partial \phi}{\partial r} \mathbf{e}_r+ \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + \frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{k}=\nabla \phi \tag{6} \\ \\ & \nabla^2 \phi= \frac{\partial^2 \phi }{\partial r^2 }+\frac{1}{r} \frac{\partial \phi }{\partial r }+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \phi }{\partial \theta^2 }+\frac{\partial^2 \phi }{\partial z^2 }=0 \end{align} \]

 

구좌표계(spherical coordinates)로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \mathbf{V}=V_r \mathbf{e}_r+V_\theta \mathbf{e}_\theta +V_\varphi \mathbf{e}_\varphi=\frac{\partial \phi}{\partial r} \mathbf{e}_r+ \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial \phi}{\partial \varphi} \mathbf{e}_\varphi=\nabla \phi \tag{7} \\ \\ & \nabla^2 \phi= \frac{\partial^2 \phi }{\partial r^2 }+\frac{2}{r} \frac{\partial \phi }{\partial r }+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial \phi}{\partial \theta } \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta } \frac{\partial^2 \phi }{\partial \varphi^2 }=0 \end{align} \]

 

일반적으로 라플라스 방정식 (4)는 평형 상태 또는 명시적으로 시간의 함수가 아닌 상태를 표현하는데 사용된다. 이 경우에는 포텐셜 함수가 다음과 같이 위치만의 함수로 기술되며 이로부터 유도되는 속도벡터장도 위치만의 함수인 정상(steady) 유동의 속도가 된다.

 

\[ \begin{align} & \phi=\phi(x,y,z) \tag{8} \\ \\ & \mathbf{V}(x,y,z)= \nabla \phi(x,y,z) \end{align} \]

 

식 (8)로 주어지는 정상(steady) 속도벡터장을 보존벡터장 (conservative vector filed)이라고 한다. 보존 벡터장은 선 적분(line integral)이 적분경로와 무관하며 시작점과 끝점만의 함수다. 즉, 다음 식이 성립한다.

 

\[ \oint_C \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s}= \oint_C \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} dx +\frac{\partial \phi}{\partial y} dy + \frac{\partial \phi}{\partial z} dz \right) = \oint_C d\phi = 0 \tag{9} \]

 

따라서 식 (9)와 순환(circulation)의 정의에 의하면 (https://pasus.tistory.com/299), 정상(steady) 비회전 유동의 순환은 \(0\) 이된다.

라플라스 방정식은 선형 2차 편미분 방정식이므로 충첩의 원리가 적용된다. 즉 \(\phi_1\) 과 \(\phi_2\) 가 각각 식 (4)의 해라면 그 합인 \( \phi=\phi_1+\phi_2\) 도 해가 된다. 이를 이용하면 간단한 비회전, 비압축성 기본 유동의 중첩을 통하여 복잡한 비회전, 비압축성 유동을 만들 수 있다. 대표적으로 균일 유동(uniform flow), 소스/싱크(source/sink), 더블릿 유동(doublet flow), 볼텍스 유동(와류, vortex flow) 등 4가지 기본 유동 (elementary flow)이 있다.

 

한편 비회전, 비압축성, 비점성 유동의 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/161).

 

\[ \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\nabla \left( \frac{p}{\rho}+ \frac{\mathbf{V}\cdot \mathbf{V}}{2} \right)= \mathbf{f} \tag{10} \]

 

만약 체적력이 보존력(conservative force)이라면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\nabla \left( \frac{p}{\rho}+ \frac{\mathbf{V}\cdot \mathbf{V}}{2} +U \right)= 0 \tag{11} \]

 

여기서 \(\mathbf{f}=-\nabla U(x,y,z)\) 로서 \(U\) 는 포텐셜 에너지(potential energy) 함수다. 비회전 유동이므로 식 (2)를 대입하면 식 (11)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \nabla \left( \frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{p}{\rho}+ \frac{\mathbf{V}\cdot \mathbf{V}}{2} +U \right)= 0 \tag{12} \]

 

식 (12)에 의하면 위치에 대한 미분값이 \(0\) 이므로 괄호안의 항은 다음과 같이 어떤 시간함수 \(f(t)\) 로 표현할 수 있다.

 

\[ \frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{p}{\rho}+ \frac{\mathbf{V}\cdot \mathbf{V}}{2} +U = f(t) \tag{13} \]

 

식 (13)을 베르누이 적분(Bernoulli integral)이라고 하며, 라플라스 방정식 (5)의 해로부터 속도 포텐셜을 계산할 수 있다면 유동장 전체의 압력을 결정하는 데 사용할 수 있다.