볼텍스 유동 (Vortex flow)

2차원 평면에서 속도 포텐셜이 다음과 같이 주어지는 유동을 포인트(point) 볼텍스 유동(와류, vortex flow)이라고 한다.

 

\[ \phi(r, \theta)= K \theta \tag{1} \]

 

여기서 \(r, \theta\) 는 극좌표계(polar coordinates)의 좌표이고 \(K\) 는 임의의 상수다. 식 (1)은 다음과 같이 라플라스 방정식을 만족한다.

 

\[ \nabla^2 \phi= \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2 }+ \frac{1}{r} \frac{ \partial \phi}{\partial r} +\frac{1}{r^2} \frac{ \partial^2 \phi}{\partial \theta^2 }=0 \tag{2} \]

 

따라서 볼텍스 유동은 포텐셜 유동으로서 정상(steady), 비회전, 비압축성 유동이다 (https://pasus.tistory.com/300).

볼텍스 유동의 속도벡터는 속도 포텐셜의 그래디언트를 계산하면 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{V}(r, \theta) &= V_r \ \mathbf{e}_r+V_\theta \ \mathbf{e}_\theta =\nabla \phi= \frac{\partial \phi}{\partial r} \mathbf{e}_r+ \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta \tag{3} \\ \\ &= \frac{K}{r} \mathbf{e}_\theta \end{align} \]

 

식 (3)에 의하면 볼텍스 유동은 어떤 점을 중심으로 공전하는 유동으로서 중심으로부터 반경 방향의 속도는 \(0\) 이고 접선 방향의 속도는 공전 반경에 반비례한다. 볼텍스 유동은 비회전 유동이므로 유체요소(fluid element)는 자전하지 않고 원형 경로를 따라 공전한다.

 

 

참고로 균일회전유동(uniformly rotating flow) 또는 강제 볼텍스 유동(forced vortex flow)은 볼텍스 유동(강제 볼텍스 유동과 구별하기 위하여 자유(free) 볼텍스 유동이라고도 한다)과 유사하게 어떤 점을 중심으로 공전하는 유동이지만 접선 방향의 속도가 반경에 비례하는 강체 운동을 하는 유동이다.

 

\[ \mathbf{V}(r, \theta)= V_r \ \mathbf{e}_r+V_\theta \ \mathbf{e}_\theta=r \Omega \ \mathbf{e}_\theta \tag{4} \]

 

여기서 \(\Omega\) 는 유동의 공전 각속도이다. 균일회전유동의 vorticity는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{\omega} = \nabla \times \mathbf{V} &= \left[ \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r} (rV_\theta )- \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial \theta} V_r \right] \ \mathbf{e}_\theta \tag{5} \\ \\ &= \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} (r^2 \Omega) \ \mathbf{e}_\theta = 2 \Omega \ \mathbf{e}_\theta \end{align} \]

 

식 (5)에 의하면 균일회전유동에서 유체요소의 자전 각속도는 \(\Omega\) 로서 공전 각속도와 동일하다.

 

 

Rankine 볼텍스 유동은 실제 볼텍스 유동을 모델링한 것으로서 코어(core)라고 불리는 일정 반경(\(r=a\))까지는 균일회전유동으로 코어 밖에서는 자유 볼텍스로 모델링한 유동이다.

 

 

식 (3)에 의하면 볼텍스 유동은 중심점(\(r=0\))에서 속도벡터가 정의되지 않는다는 것을 알 수 있다. 이 점을 특이점이라고 하는데 특이점에서는 역시 vorticity도 정의되지 않는다. 따라서 vorticity는 특이점을 제외한 영역에서만 \(0\) 이다.

 

 

이제 볼텍스 유동의 순환(circulation)을 계산해 보도록 하자. 볼텍스 유동은 특이점을 제외한 영역에서 보존벡터장 (conservative vector filed)이므로 (https://pasus.tistory.com/300), 적분 경로와 관계없이 순환은 \(0\) 이다.

 

 

위 그림에서 중심점을 포함하는 임의의 두 폐곡선 abca와 defd를 보자. 선분 ad는 두 폐곡선을 연결하는 연결선이다. 연결선을 이용하여 두 폐곡선을 하나로 연결한 폐곡선 abcadefda는 중심점을 포함하지 않으므로 이 경로를 따라 계산한 순환은 \(0\) 이 된다. 적분 경로를 분할하면,

 

\[ \begin{align} 0=\Gamma &=- \oint_{abcadefda} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} \tag{6} \\ \\ &= -\oint_{abca} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} - \oint_{ad} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} -\oint_{defd} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} -\oint_{da} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} \\ \\ &=- \oint_{abca} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s}- \oint_{ad} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s}+\oint_{dfed} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s}+\oint_{ad} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} \\ \\ &=- \oint_{abca} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s}+\oint_{dfed} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} \end{align} \]

 

이 되므로 중심점을 포함하는 임의의 폐곡선을 반시계 방향으로 한바퀴 선 적분한 값은 모두 같다는 결론을 얻을 수 있다.

 

\[ \Gamma_{abca}= - \oint_{abca} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} = -\oint_{dfed} \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} =\Gamma_{dfed} \tag{7} \]

 

중심점을 포함하는 폐곡선의 순환을 쉽게 계산하기 위해서 폐곡선 \(C\) 를 반지름 \(r\) 인 원으로 잡는다.

 

 

그러면 폐곡선 \(C\) 에 대한 순환은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \Gamma =-\oint_C \mathbf{V} \cdot d\mathbf{s} =- V_\theta (2 \pi r) \tag{8} \]

 

위 식을 식 (3)과 비교해 보면,

 

\[ V_\theta = \frac{K}{r}=- \frac{\Gamma }{2\pi r} \tag{9} \]

 

로서 상수 \(K=- \frac{\Gamma}{2\pi}\) 임을 알 수 있다. 여기서 관례적으로 순환 \(\Gamma\) 를 볼텍스 유동의 세기(strength)라고 한다.

이제 특이점 \(r=0\) 에서 vorticity를 구해보자. 식 (8)에 Stokes 정리를 적용하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \Gamma =- \iint_S (\nabla \times \mathbf{V}) \cdot \mathbf{n} \ dS \tag{10} \]

 

2차원 평면의 유동을 고려하고 있으므로 \(\nabla \times \mathbf{V}\) 와 \(\mathbf{n}\) 은 같은 방향(화면에서 나오는 방향)이다. 따라서

 

\[ \Gamma =- \iint_S \vert \nabla \times \mathbf{V} \vert \ dS \tag{11} \]

 

식 (9)에 의하면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ 2 \pi K = \iint_S \vert \nabla \times \mathbf{V} \vert \ dS \tag{12} \]

 

원 \(C\) 의 반지름을 극소(\(r \to 0\))로 해도 순환은 \(\Gamma =-2 \pi K\) 로서 동일하지만 원의 면적은 아주 작은 값(\(dS \to 0\))을 갖게 되므로, 식 (12)는 \(r \to 0\) 에서 다음과 같이 된다.

 

\[ 2 \pi K = \vert \nabla \times \mathbf{V} \vert \ dS \tag{13} \]

 

따라서

 

\[ \vert \nabla \times \mathbf{V} \vert =\frac{2\pi K}{dS} \to \infty \tag{14} \]

 

이 되므로 중심점 즉, 특이점에서 볼텍스 유동의 vorticity는 무한대가 된다.