이류(advection), 대류(convection), 확산(diffusion)

장(field)은 위치와 시간의 함수를 의미한다. 예를 들어서 스칼라장(scalar field)는 공간상의 모든 위치에 시간에 따라 변하는 스칼라 값을 대응시키는 함수이고, 벡터장(vector field)은 공간상의 모든 위치에 시간에 따라 변하는 벡터 값을 대응시키는 함수를 의미한다. 스칼라장의 예로서 밀도 함수 \(\rho =\rho (x,y,z,t)\) 를, 벡터장의 예로서 공기의 속도벡터 함수 \(\mathbf{V}=\mathbf{V}(x,y,z,t)\)를 들 수 있겠다.

 

 

이제 유체의 운동과 관련된 용어인 advection, convection, diffusion에 대해서 알아보자.

먼저 advection은 이류라고 번역한다. 이류는 유체의 운동을 통하여 유체의 물리량이 이동하는 것을 의미한다.

 

 

유체의 속도벡터장을 \(\mathbf{V}(x,y,z,t)\), 이동하는 스칼라장을 \(s(x,y,z,t)\) 라고 표시하면 이류 방정식은 다음과 같이 표현된다.

 

\[ \ \frac{\partial s}{\partial t}= - \mathbf{V} \cdot \nabla s \]

 

이류는 고정된 위치에서 속도벡터와 스칼라장의 그래디언트(gradient) \(\nabla s\) 에 기반하여 계산되는 스칼라장의 변화율이다. 여기서 \(\nabla s\) 는 \(s\) 값이 증가하는 방향을 가리키는 벡터장이다. 스칼라장은 예를 들어서 유체의 온도가 될 수도 있고 물감이나 연기 등의 농도가 될 수도 있다.

 

 

Convection은 대류라고 번역한다. 속도벡터장에 의해서 유체의 물리량이 이류(advection)한다고 했는데 유체의 속도벡터도 유체의 물리량이므로 속도벡터 자체도 이류하게 된다. 이와 같이 유체의 속도벡터가 속도벡터장에 의해서 이동하는 것을 대류라고 한다.

 

 

대류 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \ \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}= - \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \]

 

Diffusion은 확산으로 번역한다. 유체는 거시적으로는 정지해 있는 것처럼 보여도 분자 단위에서는 계속 움직이면서 서로 충돌하고 있다. 예를 들어서 정지해 있는 물(\(\mathbf{V}=0\))에 빨간 잉크를 떨어뜨렸다고 할 때 물 분자의 무작위적인 운동에 의해서 잉크가 점점 퍼져나가는 것을 볼 수 있다. 이것을 확산이라고 한다. 확산은 밀도 차이나 농도 차이에 의해 물질을 이루고 있는 입자들이 밀도가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 퍼져 나가는 현상이다.

 

 

이류와 확산의 차이점은 유체 운동의 유무에 있다. 확산 방정식은 다음과 같다.

 

\[ \ \frac{\partial s}{\partial t}= k \nabla^2 s \]

 

여기서 상수 \(k\) 를 확산율이라고 한다. \(\nabla^2\) 은 라플라시안(Laplacian) 연산자이다. 방정식에 의하면 만약 특정 위치보다 주변의 어떤 스칼라 값이 크다면 그 위치에서의 스칼라 값이 증가하고 반대라면 그 값이 줄어들게 되므로, 시간이 지남에 따라 전체 영역에서 어떤 스칼라 값이 평균값에 수렴하게 된다는 것을 알 수 있다. 이것이 확산 프로세스의 본질이다.

참고로 점성 유동(viscose flow)은 다음과 같이 확산 방정식으로 표현할 수 있다.

 

\[ \ \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}= \nu \nabla^2 \mathbf{V} \]

 

여기서 \(\nu \) 는 kinematic viscosity다. 점성은 시간이 지남에 따라 유체의 속도벡터를 주변 평균에 수렴시킨다.