켈빈의 순환 정리 (Kelvin’s Circulation Theorem)

다음 그림과 같이 유동장에 고정된 폐곡선 $C$ 가 있다고 하자. $\mathbf{V}$ 와 $d\mathbf{s}$ 는 각각 $C$ 의 한 점에서의 유체의 속도와 미소 선분벡터를 의미한다.

 

 

순환(circulation) $\mathrm{\Gamma }$ 는 유동장에 고정된 폐곡선 $C$ 를 반시계 방향으로 따라가며 유체의 속도를 선 적분한 것으로 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\Gamma }=-{\oint }_C\mathbf{V}\cdot d\mathbf{s}\end{array}$$

 

순환의 정의에서 마이너스($-$) 부호를 사용한 이유는 선 적분은 관례상 시계반대 방향이 플러스($+$)인 반면 항공역학에서는 시계 방향을 플러스($+$)로 보기 때문이다. 책에 따라서는 마이너스 부호를 사용하지 않고 정의하는 경우도 있다.

식 (1)의 정의에 의하면 순환은 단순히 폐곡선을 반시계 방향으로 따라가며 유체의 속도를 선 적분한 값이다. 따라서 순환은 속도벡터장과 폐곡선 $C$ 의 선택에 의존하는 운동학적 특성을 나타내는 값이지, 유체요소(fluid element)가 유동장 내에서 원을 그리며 움직인다는 것을 의미하는 것이 아니다.

Stokes의 정리에 의하면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\Gamma }=-{\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{V})\cdot \mathbf{n}dS\end{array}$$

 

여기서 $S$ 는 폐곡선 $C$ 로 둘러싸인 곡면이며 $\mathbf{n}$ 은 곡면 $S$ 와 수직인 단위벡터다.

 

 

식 (2)에 의하면 순환은 vorticity(와도)와 관련이 있으며, 특정 영역에서의 vorticity 세기(strength)로 사용될 수 있다.

 

 

이제, 켈빈의 순환 정리(Kelvin's circulation theorem)에 대해서 알아보자.
밀도가 압력만의 함수(순압, barotropic)인 비점성 유동에서 체적력이 보존력(conservative force)일 경우, 동일한 유체요소로 구성된 폐곡선에 대한 순환의 시간 변화율은 $0$ 이다. 즉 순환은 보존된다는 것이 켈빈의 순환 정리이다.

 

 

이 정리에 의하면 임의의 시간 $t_1$ 에 임의의 위치에 있는 폐곡선 $C(t_1)$ 에 대한 순환 ${\mathrm{\Gamma }}_1$ 과, 시간이 지남에 따라 폐곡선을 구성했던 모든 유체요소가 움직여서 새로운 위치에 형성한 폐곡선 $C(t_2)$ 에 대한 순환 ${\mathrm{\Gamma }}_2$ 를 계산하면 두 위치에 대한 순환은 동일하다.

순환 정리를 수식으로 쓰면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{d\mathrm{\Gamma }}{dt}=0\end{array}$$

 

켈빈의 순환 정리를 증명하기 위해서 우선 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다시 써보자 (https://pasus.tistory.com/165).

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot [\mu (\mathrm{\nabla }\mathbf{V}+(\mathrm{\nabla }\mathbf{V}{)}^T)+\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V})\overline{\mathbf{I}}]+\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

비점성 유동이라면 식 (4)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \rho (\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{V})=-\mathrm{\nabla }p+\rho \mathbf{f}\end{array}$$

 

체적력이 보존력(conservative force)이라면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{V}=-\frac{\mathrm{\nabla }p}{\rho }-\mathrm{\nabla }U\end{array}$$

 

여기서 $U$ 는 포텐셜 에너지(potential energy) 함수다. 순환 정리에 의하면 특정 유체요소를 따르고 있으므로 위 식을 물질미분(material derivative)식으로 바꾼다 (https://pasus.tistory.com/206). 물질미분은 주어진 유체요소를 따라가면서 계산한 시간 변화율을 제공한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \frac{d\mathbf{V}}{dt}=-\frac{\mathrm{\nabla }p}{\rho }-\mathrm{\nabla }U\end{array}$$

 

이제 순환 식 (1)의 미분을 구하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& \frac{d\mathrm{\Gamma }}{dt}& =-\frac{d}{dt}{\oint }_C\mathbf{V}\cdot d\mathbf{s}\\ & =-{\oint }_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot d\mathbf{s}-{\oint }_C\mathbf{V}\cdot \frac{d(d\mathbf{s})}{dt}\end{array}$$

 

식 (8) 우변의 첫번째 항에 Stokes 정리를 적용하고 식 (7)을 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& {\oint }_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot d\mathbf{s}& ={\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \frac{d\mathbf{V}}{dt})\cdot \mathbf{n}dS\\ & ={\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\mathrm{\nabla }p}{\rho }-\mathrm{\nabla }U))\cdot \mathbf{n}dS\end{array}$$

 

여기서 $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }U=0$ 이고, 가정에 의해서 밀도가 압력만의 함수, $\rho =\rho (p)$, 인 유동이므로 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& {\oint }_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot d\mathbf{s}& =-{\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{\mathrm{\nabla }p}{\rho }\right))\cdot \mathbf{n}dS\\ & =-{\iint }_S(\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{\rho }\right)\times \mathrm{\nabla }p+\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }p)\cdot \mathbf{n}dS\\ \\ & ={\iint }_S\frac{1}{{\rho }^2}(\mathrm{\nabla }\rho \times \mathrm{\nabla }p)\cdot \mathbf{n}dS\\ \\ & ={\iint }_S\frac{1}{{\rho }^2}(\frac{d\rho }{dp}\mathrm{\nabla }p\times \mathrm{\nabla }p)\cdot \mathbf{n}dS\\ \\ & =0\end{array}$$

 

식 (8) 우변의 두번째 항을 구하려면 $\frac{d(d\mathbf{s})}{dt}$ 를 계산해야 한다. 일단 $d\mathbf{s}$ 는 폐곡선의 미소 선분벡터이므로 시간의 함수이다. 다음 그림에 있는 기하학적인 관계를 보자.

 

 

유체요소가 움직인 궤적을 물질 유선(material line)이라고 한다. 물질미분 정의에 의하면 그림에서 파랑색과 빨강색 유체요소의 속도는 시간 $t_1$ 에서 각각 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{d{\mathbf{r}}_1}{dt}=\mathbf{V}(t_1),\frac{d{\mathbf{r}}_2}{dt}=\mathbf{V}(t_1)+d\mathbf{V}\end{array}$$

 

여기서 $d\mathbf{r}$ 은 물질 유선의 미소변위, $d\mathbf{V}$ 는 시간 $t_1$ 에서 위치의 미소 차이에 따른 속도차다. 그러면 시간 $t_2$ 에서 파랑색과 빨강색 유체요소의 위치벡터는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& {\mathbf{r}}_1(t_2)& ={\mathbf{r}}_1(t_1)+\mathbf{V}(t_1)\mathrm{\Delta }t\\ {\mathbf{r}}_2(t_2)& ={\mathbf{r}}_2(t_1)+[\mathbf{V}(t_1)+d\mathbf{V}]\mathrm{\Delta }t\end{array}$$

 

위 식으로부터 폐곡선 미소변위 $d\mathbf{s}(t_1)$과 $d\mathbf{s}(t_2)$ 의 차이를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& d\mathbf{s}(t_2)-d\mathbf{s}(t_1)& ={\mathbf{r}}_2(t_2)-{\mathbf{r}}_1(t_2)-({\mathbf{r}}_2(t_1)-{\mathbf{r}}_1(t_1))\\ & ={\mathbf{r}}_2(t_2)-{\mathbf{r}}_2(t_1)-({\mathbf{r}}_1(t_2)-{\mathbf{r}}_1(t_1))\\ \\ & =[\mathbf{V}(t_1)+d\mathbf{V}]\mathrm{\Delta }t-\mathbf{V}(t_1)\mathrm{\Delta }t\\ \\ & =d\mathbf{V}\mathrm{\Delta }t\end{array}$$

 

따라서 $\frac{d(d\mathbf{s})}{dt}$ 는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(14)}& \frac{d}{dt}(d\mathbf{s})& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{d\mathbf{s}(t_2)-d\mathbf{s}(t_1)}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{d\mathbf{V}\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =d\mathbf{V}\end{array}$$

 

식 (14)를 식 (8) 우변의 두번째 항에 대입하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& {\oint }_C\mathbf{V}\cdot \frac{d(d\mathbf{s})}{dt}& ={\oint }_C\mathbf{V}\cdot d\mathbf{V}\\ & =\frac{1}{2}{\oint }_{C}d(\mathbf{V}\cdot \mathbf{V})=\frac{1}{2}{\oint }_{C}d(V^2)\\ \\ & =0\end{array}$$

 

이 된다. 최종적으로 식 (10)과 (15)를 식 (8)애 대입하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \frac{d\mathrm{\Gamma }}{dt}=0\end{array}$$

 

이 되어서 순환 정리가 증명된다.