켈빈의 순환 정리 (Kelvin’s Circulation Theorem)

다음 그림과 같이 유동장에 고정된 폐곡선 \(C\) 가 있다고 하자. \(\mathbf{V}\) 와 \(d \mathbf{s}\) 는 각각 \(C\) 의 한 점에서의 유체의 속도와 미소 선분벡터를 의미한다.

 

 

순환(circulation) \(\Gamma\) 는 유동장에 고정된 폐곡선 \(C\) 를 반시계 방향으로 따라가며 유체의 속도를 선 적분한 것으로 정의한다.

 

\[ \Gamma = -\oint_C \mathbf{V} \cdot d \mathbf{s} \tag{1} \]

 

순환의 정의에서 마이너스(\(-\)) 부호를 사용한 이유는 선 적분은 관례상 시계반대 방향이 플러스(\(+\))인 반면 항공역학에서는 시계 방향을 플러스(\(+\))로 보기 때문이다. 책에 따라서는 마이너스 부호를 사용하지 않고 정의하는 경우도 있다.

식 (1)의 정의에 의하면 순환은 단순히 폐곡선을 반시계 방향으로 따라가며 유체의 속도를 선 적분한 값이다. 따라서 순환은 속도벡터장과 폐곡선 \(C\) 의 선택에 의존하는 운동학적 특성을 나타내는 값이지, 유체요소(fluid element)가 유동장 내에서 원을 그리며 움직인다는 것을 의미하는 것이 아니다.

Stokes의 정리에 의하면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \Gamma = - \iint_S ( \nabla \times \mathbf{V} ) \cdot \mathbf{n} \ dS \tag{2} \]

 

여기서 \(S\) 는 폐곡선 \(C\) 로 둘러싸인 곡면이며 \(\mathbf{n}\) 은 곡면 \(S\) 와 수직인 단위벡터다.

 

 

식 (2)에 의하면 순환은 vorticity(와도)와 관련이 있으며, 특정 영역에서의 vorticity 세기(strength)로 사용될 수 있다.

 

 

이제, 켈빈의 순환 정리(Kelvin's circulation theorem)에 대해서 알아보자.
밀도가 압력만의 함수(순압, barotropic)인 비점성 유동에서 체적력이 보존력(conservative force)일 경우, 동일한 유체요소로 구성된 폐곡선에 대한 순환의 시간 변화율은 \(0\) 이다. 즉 순환은 보존된다는 것이 켈빈의 순환 정리이다.

 

 

이 정리에 의하면 임의의 시간 \(t_1\) 에 임의의 위치에 있는 폐곡선 \(C(t_1)\) 에 대한 순환 \(\Gamma_1\) 과, 시간이 지남에 따라 폐곡선을 구성했던 모든 유체요소가 움직여서 새로운 위치에 형성한 폐곡선 \(C(t_2)\) 에 대한 순환 \(\Gamma_2\) 를 계산하면 두 위치에 대한 순환은 동일하다.

순환 정리를 수식으로 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \frac{d \Gamma}{dt} =0 \tag{3} \]

 

켈빈의 순환 정리를 증명하기 위해서 우선 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다시 써보자 (https://pasus.tistory.com/165).

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right)= -\nabla p+ \nabla \cdot \left[ \mu (\nabla \mathbf{V}+(\nabla \mathbf{V})^T )+ \lambda (\nabla \cdot \mathbf{V}) \bar{\mathbf{I}} \right]+ \rho \mathbf{f} \tag{4} \]

 

비점성 유동이라면 식 (4)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V} \right)= -\nabla p + \rho \mathbf{f} \tag{5} \]

 

체적력이 보존력(conservative force)이라면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+ (\mathbf{V} \cdot \nabla) \mathbf{V} = -\frac{\nabla p}{\rho} -\nabla U \tag{6} \]

 

여기서 \(U\) 는 포텐셜 에너지(potential energy) 함수다. 순환 정리에 의하면 특정 유체요소를 따르고 있으므로 위 식을 물질미분(material derivative)식으로 바꾼다 (https://pasus.tistory.com/206). 물질미분은 주어진 유체요소를 따라가면서 계산한 시간 변화율을 제공한다.

 

\[ \frac{d \mathbf{V}}{d t} = -\frac{\nabla p}{\rho} -\nabla U \tag{7} \]

 

이제 순환 식 (1)의 미분을 구하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \frac{d \Gamma}{dt} &= -\frac{d}{dt} \oint_C \mathbf{V} \cdot d \mathbf{s} \tag{8} \\ \\ &= -\oint_C \frac{d \mathbf{V}}{dt} \cdot d \mathbf{s} - \oint_C \mathbf{V} \cdot \frac{d(d\mathbf{s})}{dt} \end{align} \]

 

식 (8) 우변의 첫번째 항에 Stokes 정리를 적용하고 식 (7)을 대입하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \oint_C \frac{d \mathbf{V}}{dt} \cdot d\mathbf{s} &= \iint_S \left( \nabla \times \frac{d\mathbf{V}}{dt} \right) \cdot \mathbf{n} \ dS \tag{9} \\ \\ &= \iint_S \left( \nabla \times \left( - \frac{\nabla p}{\rho}-\nabla U \right) \right) \cdot \mathbf{n} \ dS \end{align} \]

 

여기서 \(\nabla \times \nabla U=0\) 이고, 가정에 의해서 밀도가 압력만의 함수, \(\rho =\rho (p)\), 인 유동이므로 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \oint_C \frac{d \mathbf{V}}{dt} \cdot d \mathbf{s} &= -\iint_S \left( \nabla \times \left( \frac{\nabla p}{\rho} \right) \right) \cdot \mathbf{n} \ dS \tag{10} \\ \\ &= - \iint_S \left( \nabla \left( \frac{1}{\rho} \right) \times \nabla p + \frac{1}{\rho} \nabla \times \nabla p \right) \cdot \mathbf{n} \ dS \\ \\ &= \iint_S \frac{1}{\rho^2} \left( \nabla \rho \times \nabla p \right) \cdot \mathbf{n} \ dS \\ \\ &= \iint_S \frac{1}{\rho^2} \left( \frac{d\rho}{dp} \nabla p \times \nabla p \right) \cdot \mathbf{n} \ dS\\ \\ &=0 \end{align} \]

 

식 (8) 우변의 두번째 항을 구하려면 \(\frac{d(d\mathbf{s})}{dt} \) 를 계산해야 한다. 일단 \(d\mathbf{s}\) 는 폐곡선의 미소 선분벡터이므로 시간의 함수이다. 다음 그림에 있는 기하학적인 관계를 보자.

 

 

유체요소가 움직인 궤적을 물질 유선(material line)이라고 한다. 물질미분 정의에 의하면 그림에서 파랑색과 빨강색 유체요소의 속도는 시간 \(t_1\) 에서 각각 다음과 같다.

 

\[ \frac{d \mathbf{r}_1}{dt}= \mathbf{V}(t_1), \ \ \ \ \ \frac{d\mathbf{r}_2}{dt}= \mathbf{V}(t_1)+d \mathbf{V} \tag{11} \]

 

여기서 \(d\mathbf{r}\) 은 물질 유선의 미소변위, \(d\mathbf{V}\) 는 시간 \(t_1\) 에서 위치의 미소 차이에 따른 속도차다. 그러면 시간 \(t_2\) 에서 파랑색과 빨강색 유체요소의 위치벡터는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{r}_1 (t_2 ) &= \mathbf{r}_1 (t_1 )+ \mathbf{V}(t_1) \Delta t \tag{12} \\ \\ \mathbf{r}_2 (t_2 ) &= \mathbf{r}_2 (t_1 )+[ \mathbf{V}(t_1)+d \mathbf{V}] \Delta t \end{align} \]

 

위 식으로부터 폐곡선 미소변위 \(d\mathbf{s}(t_1)\)과 \(d\mathbf{s}(t_2)\) 의 차이를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} d \mathbf{s}(t_2 )-d \mathbf{s}(t_1 ) &= \mathbf{r}_2 (t_2 )-\mathbf{r}_1 (t_2 )- \left( \mathbf{r}_2 (t_1 )-\mathbf{r}_1 (t_1 ) \right) \tag{13} \\ \\ &= \mathbf{r}_2 (t_2 )- \mathbf{r}_2 (t_1 )- \left( \mathbf{r}_1 (t_2 )-\mathbf{r}_1 (t_1 ) \right) \\ \\ &= [\mathbf{V}(t_1)+d \mathbf{V}] \Delta t- \mathbf{V}(t_1) \Delta t \\ \\ &=d \mathbf{V} \Delta t \end{align} \]

 

따라서 \( \frac{d(d\mathbf{s})}{dt}\) 는 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \frac{d}{dt} (d\mathbf{s}) &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{d \mathbf{s}(t_2 )-d \mathbf{s}(t_1 )}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{d \mathbf{V} \Delta t}{\Delta t} \tag{14} \\ \\ &=d \mathbf{V} \end{align} \]

 

식 (14)를 식 (8) 우변의 두번째 항에 대입하면,

 

\[ \begin{align} \oint_C \mathbf{V} \cdot \frac{d(d\mathbf{s})}{dt} & =\oint_C \mathbf{V} \cdot d\mathbf{V} \tag{15} \\ \\ &= \frac{1}{2} \oint_C d(\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} ) = \frac{1}{2} \oint_C d(V^2 ) \\ \\ &=0 \end{align} \]

 

이 된다. 최종적으로 식 (10)과 (15)를 식 (8)애 대입하면,

 

\[ \frac{d\Gamma}{dt}=0 \tag{16} \]

 

이 되어서 순환 정리가 증명된다.