회전벡터 (Rotation Vector)의 시간 변화율

모든 좌표변환은 어떤 회전축과 그 회전축을 중심으로 하는 한번의 회전을 통해서 가능하다. 쿼터니언(quaternions)의 정의도 이 회전축과 회전각에 기반을 두고 있다.

 

 

단위벡터는 크기가 1인 벡터이기 때문에 방향을 표시하는데 자주 쓰인다. 여기서도 회전축 방향을 정하는데 단위벡터를 이용하기로 하고 기호로 \(\hat{p}\) 으로 표시한다. 회전벡터(rotation vector)는 회전축과 회전각을 간결하게 표현한 벡터로서 그 크기는 회전각이며 방향은 회전축과 같은 방향으로서 다음과 같이 정의한다.

 

\[ \begin{align} \vec{\beta} = \beta \hat{p} \tag{1} \end{align} \]

 

여기서 \(\beta\) 는 회전각, \(\vec{\beta}\) 는 회전벡터다.

좌표계 {a}를 기준으로 좌표계 {b}가 각속도 벡터 \(^a \vec{\omega}^b\) 로 회전 운동하면 두 좌표계의 상대적인 자세가 변할 것이다. 따라서 두 좌표계의 좌표변환을 나타내는 방향코사인행렬 (DCM), 오일러각, 그리고 쿼터니언도 시간에 따라 변화하게 된다. 마찬가지로 회전벡터 또한 시간에 따라 변화한다.

 

 

그렇다면 회전벡터의 시간 변화율 또는 회전벡터의 시간 미분과 각속도 벡터와의 관계는 어떻게 될까.

쿼터니언의 정의에 의하면 좌표계 {a}를 회전축 \(\hat{p}\) 축을 중심으로 \(\beta\) 만큼 회전시켜서 나온 좌표계를 {b}라고 할 때, 쿼터니언 \(\mathbf{q}_b^a\) 는 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/86).

 

\[ \begin{align} \mathbf{q}_b^a = \begin{bmatrix} \cos \left( \frac{\beta (t)}{2} \right) \\ \frac{\mathbf{\beta}^b (t)}{\beta (t)} \sin \left( \frac{ \beta (t)}{2} \right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_0 \\ \mathbf{q}_{1:3} \end{bmatrix} \tag{2} \end{align} \]

 

여기서 \(\beta^b\) 는 회전벡터 \(\vec{\beta}\) 를 좌표계 {b}로 표현한 것이다. 회전각과 회전벡터에 시간 \(t\) 를 명시한 이유는 모두 시간에 따라 변화한다는 것을 강조하기 위한 것이다. 이제 위 식을 미분하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{q}}_b^a = \begin{bmatrix} -\frac{ \dot{\beta}}{2} \sin \left( \frac{ \beta}{2} \right) \\ \frac{ \dot{\beta}^b }{\beta} \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) - \frac{ \beta^b \dot{\beta}}{\beta^2} \sin \left( \frac{\beta}{2} \right)+ \frac{ \beta^b \dot{\beta}}{2 \beta} \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \end{bmatrix} \tag{3} \end{align} \]

 

반면에 쿼터니언의 시간 변화율은 다음 식으로 주어진다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{q}}_b^a &= \frac{1}{2} \mathbf{q}_b^a \otimes \bar{\omega}_{ab}^b \tag{4} \\ \\ &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} q_0 & -(\mathbf{q}_{1:3} )^T \\ \mathbf{q}_{1:3} & q_0 I+[ \mathbf{q}_{1:3} \times ] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \omega_{ab}^b \end{bmatrix} \\ \\ &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -(\mathbf{q}_{1:3} )^T \omega_{ab}^b \\ q_0 \omega_{ab}^b+[\mathbf{q}_{1:3} \times] \omega_{ab}^b \end{bmatrix} \end{align} \]

 

여기서 \(\omega_{ab}^b\) 는 각속도 벡터 \(^a \vec{\omega}^b\) 를 좌표계 {b}로 표현한 것이다. 식 (2)를 이용하면, 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{q}}_b^a = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2\beta} \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) (\beta^b )^T \omega_{ab}^b \\ \frac{1}{2} \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \omega_{ab}^b + \frac{1}{2\beta} \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b \end{bmatrix} \tag{5} \end{align} \]

 

 

 

이제 식 (5)와 (3)을 비교하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \frac{ \dot{\beta}}{2} \sin \left( \frac{ \beta}{2} \right) = \frac{1}{2\beta} \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) (\beta^b )^T \omega_{ab}^b \tag{6} \\ \\ & \frac{ \dot{\beta}^b }{\beta} \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) - \frac{ \beta^b \dot{\beta}}{\beta^2} \sin \left( \frac{\beta}{2} \right)+ \frac{ \beta^b \dot{\beta}}{2 \beta} \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{2} \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \omega_{ab}^b + \frac{1}{2\beta} \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b \end{align} \]

 

위 식의 첫번째 식에 의하면 \(\dot{\beta}\) 은 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} \dot{\beta}= \frac{1}{\beta} (\beta^b )^T \omega_{ab}^b \tag{7} \end{align} \]

 

또한, 두번째 식에 의하면 \(\dot{\beta}^b \) 를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \dot{\beta}^b= \frac{ \beta^b \dot{\beta}}{ \beta} - \frac{\beta^b \dot{\beta}}{2} \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) }+ \frac{\beta}{2} \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) } \omega_{ab}^b+ \frac{1}{2} [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b \tag{8} \end{align} \]

 

위 식에 식 (7)을 대입하고 다음 관계식을 이용하면,

 

\[ \begin{align} (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}= \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})+(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \tag{9} \end{align} \]

 

\(\dot{\beta}^b \) 는 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \dot{\beta}^b &= \frac{\beta^b}{\beta^2} (\beta^b )^T \omega_{ab}^b - \frac{\beta^b}{2\beta} (\beta^b )^T \omega_{ab}^b \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) } \tag{10} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \frac{\beta}{2} \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) } \omega_{ab}^b + \frac{1}{2} [\beta^b ×] \omega_{ab}^b \\ \\ &= \frac{1}{\beta^2} \left( [\beta^b \times ][\beta^b \times ] \omega_{ab}^b +(\beta^b )^T \beta^b \omega_{ab}^b \right) \\ \\ & \ \ \ \ \ -\frac{1}{2\beta} \left( [\beta^b \times ][\beta^b \times ] \omega_{ab}^b +(\beta^b )^T \beta^b \omega_{ab}^b \right) \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) }\\ \\ & \ \ \ \ \ + \frac{\beta}{2} \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) }\omega_{ab}^b + \frac{1}{2} [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b \\ \\ &= \omega_{ab}^b + \frac{1}{\beta^2} ([\beta^b \times ][\beta^b \times ] \omega_{ab}^b ) \\ \\ & \ \ \ \ \ - \frac{\beta}{2} \omega_{ab}^b \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) } - \frac{1}{2\beta} ([\beta^b \times ][\beta^b \times ]\omega_{ab}^b ) \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) } \\ \\ & \ \ \ \ \ + \frac{\beta}{2} \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) } \omega_{ab}^b + \frac{1}{2} [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b \\ \\ &= \omega_{ab}^b + \frac{1}{\beta^2} ([\beta^b \times ]^2 \omega_{ab}^b )- \frac{1}{2 \beta} ([\beta^b \times ]^2 \omega_{ab}^b ) \frac{ \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) } + \frac{1}{2} [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b \\ \\ &= \omega_{ab}^b + \frac{1}{\beta^2} \left( 1- \frac{ \beta \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) } \right) [\beta^b \times ]^2 \omega_{ab}^b + \frac{1}{2} [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b \\ \\ &=\omega_{ab}^b + \frac{1}{\beta^2} \left( 1- \frac{\beta \sin \beta }{2(1-\cos \beta )} \right) [\beta^b \times ]^2 \omega_{ab}^b + \frac{1}{2} [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b \end{align} \]

 

결론적으로 회전벡터의 시간 변화율은 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \dot{\beta}^b =\omega_{ab}^b + \frac{1}{2} [\beta^b \times ] \omega_{ab}^b + \frac{1}{\beta^2} \left( 1- \frac{\beta \sin \beta }{2(1-\cos \beta )} \right) [\beta^b \times ]^2 \omega_{ab}^b \tag{11} \end{align} \]

 

위 식을 벡터 미분 형태로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \frac{^b d\vec{\beta}}{dt} = {^a \vec{\omega}^b} + \frac{1}{2} \vec{\beta} \times {^a \vec{\omega}^b} + \frac{1}{\beta^2} \left( 1- \frac{\beta \sin \beta }{2(1-\cos \beta )} \right) \vec{\beta} \times ( \vec{\beta} \times {^a \vec{\omega}^b} ) \tag{12} \end{align} \]