회전벡터 (Rotation Vector)의 시간 변화율

모든 좌표변환은 어떤 회전축과 그 회전축을 중심으로 하는 한번의 회전을 통해서 가능하다. 쿼터니언(quaternions)의 정의도 이 회전축과 회전각에 기반을 두고 있다.

 

 

단위벡터는 크기가 1인 벡터이기 때문에 방향을 표시하는데 자주 쓰인다. 여기서도 회전축 방향을 정하는데 단위벡터를 이용하기로 하고 기호로 $\hat{p}$ 으로 표시한다. 회전벡터(rotation vector)는 회전축과 회전각을 간결하게 표현한 벡터로서 그 크기는 회전각이며 방향은 회전축과 같은 방향으로서 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{\beta }=\beta \hat{p}\end{array}$$

 

여기서 $\beta$ 는 회전각, $\overrightarrow{\beta }$ 는 회전벡터다.

좌표계 {a}를 기준으로 좌표계 {b}가 각속도 벡터 ${}^a{\overrightarrow{\omega }}^b$ 로 회전 운동하면 두 좌표계의 상대적인 자세가 변할 것이다. 따라서 두 좌표계의 좌표변환을 나타내는 방향코사인행렬 (DCM), 오일러각, 그리고 쿼터니언도 시간에 따라 변화하게 된다. 마찬가지로 회전벡터 또한 시간에 따라 변화한다.

 

 

그렇다면 회전벡터의 시간 변화율 또는 회전벡터의 시간 미분과 각속도 벡터와의 관계는 어떻게 될까.

쿼터니언의 정의에 의하면 좌표계 {a}를 회전축 $\hat{p}$ 축을 중심으로 $\beta$ 만큼 회전시켜서 나온 좌표계를 {b}라고 할 때, 쿼터니언 ${\mathbf{q}}_b^a$ 는 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/86).

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\mathbf{q}}_b^a=\left[\begin{array}{c}\cos \left(\frac{\beta (t)}{2}\right)\\ \frac{{\beta }^b(t)}{\beta (t)}\sin \left(\frac{\beta (t)}{2}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{q}_0\\ {\mathbf{q}}_{1:3}\end{array}\right]\end{array}$$

 

여기서 ${\beta }^b$ 는 회전벡터 $\overrightarrow{\beta }$ 를 좌표계 {b}로 표현한 것이다. 회전각과 회전벡터에 시간 $t$ 를 명시한 이유는 모두 시간에 따라 변화한다는 것을 강조하기 위한 것이다. 이제 위 식을 미분하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\dot{\mathbf{q}}}_b^a=\left[\begin{array}{c}-\frac{\dot{\beta }}{2}\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)\\ \frac{{\dot{\beta }}^b}{\beta }\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)-\frac{{\beta }^b\dot{\beta }}{{\beta }^2}\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)+\frac{{\beta }^b\dot{\beta }}{2\beta }\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)\end{array}\right]\end{array}$$

 

반면에 쿼터니언의 시간 변화율은 다음 식으로 주어진다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& {\dot{\mathbf{q}}}_b^a& =\frac{1}{2}{\mathbf{q}}_b^a\otimes {\overline{\omega }}_{ab}^b\\ & =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{q}_0& -({\mathbf{q}}_{1:3}{)}^T\\ {\mathbf{q}}_{1:3}& q_{0}I+[{\mathbf{q}}_{1:3}\times ]\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ {\omega }_{ab}^b\end{array}\right]\\ \\ & =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}-({\mathbf{q}}_{1:3}{)}^T{\omega }_{ab}^b\\ q_0{\omega }_{ab}^b+[{\mathbf{q}}_{1:3}\times ]{\omega }_{ab}^b\end{array}\right]\end{array}$$

 

여기서 ${\omega }_{ab}^b$ 는 각속도 벡터 ${}^a{\overrightarrow{\omega }}^b$ 를 좌표계 {b}로 표현한 것이다. 식 (2)를 이용하면, 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\dot{\mathbf{q}}}_b^a=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2\beta }\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)({\beta }^b{)}^T{\omega }_{ab}^b\\ \frac{1}{2}\cos \left(\frac{\beta }{2}\right){\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2\beta }\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\end{array}\right]\end{array}$$

 

 

 

이제 식 (5)와 (3)을 비교하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& & \frac{\dot{\beta }}{2}\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)=\frac{1}{2\beta }\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)({\beta }^b{)}^T{\omega }_{ab}^b\\ & \frac{{\dot{\beta }}^b}{\beta }\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)-\frac{{\beta }^b\dot{\beta }}{{\beta }^2}\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)+\frac{{\beta }^b\dot{\beta }}{2\beta }\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)\\ \\ & =\frac{1}{2}\cos \left(\frac{\beta }{2}\right){\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2\beta }\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\end{array}$$

 

위 식의 첫번째 식에 의하면 $\dot{\beta }$ 은 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \dot{\beta }=\frac{1}{\beta }({\beta }^b{)}^T{\omega }_{ab}^b\end{array}$$

 

또한, 두번째 식에 의하면 ${\dot{\beta }}^b$ 를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\dot{\beta }}^b=\frac{{\beta }^b\dot{\beta }}{\beta }-\frac{{\beta }^b\dot{\beta }}{2}\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}+\frac{\beta }{2}\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\end{array}$$

 

위 식에 식 (7)을 대입하고 다음 관계식을 이용하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}\end{array}$$

 

${\dot{\beta }}^b$ 는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& {\dot{\beta }}^b& =\frac{{\beta }^b}{{\beta }^2}({\beta }^b{)}^T{\omega }_{ab}^b-\frac{{\beta }^b}{2\beta }({\beta }^b{)}^T{\omega }_{ab}^b\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}\\ & +\frac{\beta }{2}\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\\ \\ & =\frac{1}{{\beta }^2}([{\beta }^b\times ][{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b+({\beta }^b{)}^T{\beta }^b{\omega }_{ab}^b)\\ \\ & -\frac{1}{2\beta }([{\beta }^b\times ][{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b+({\beta }^b{)}^T{\beta }^b{\omega }_{ab}^b)\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}\\ \\ & +\frac{\beta }{2}\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\\ \\ & ={\omega }_{ab}^b+\frac{1}{{\beta }^2}([{\beta }^b\times ][{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b)\\ \\ & -\frac{\beta }{2}{\omega }_{ab}^b\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}-\frac{1}{2\beta }([{\beta }^b\times ][{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b)\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}\\ \\ & +\frac{\beta }{2}\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\\ \\ & ={\omega }_{ab}^b+\frac{1}{{\beta }^2}([{\beta }^b\times {]}^2{\omega }_{ab}^b)-\frac{1}{2\beta }([{\beta }^b\times {]}^2{\omega }_{ab}^b)\frac{\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}+\frac{1}{2}[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\\ \\ & ={\omega }_{ab}^b+\frac{1}{{\beta }^2}(1-\frac{\beta \cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)})[{\beta }^b\times {]}^2{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\\ \\ & ={\omega }_{ab}^b+\frac{1}{{\beta }^2}(1-\frac{\beta \sin \beta }{2(1-\cos \beta )})[{\beta }^b\times {]}^2{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b\end{array}$$

 

결론적으로 회전벡터의 시간 변화율은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\dot{\beta }}^b={\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}[{\beta }^b\times ]{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{{\beta }^2}(1-\frac{\beta \sin \beta }{2(1-\cos \beta )})[{\beta }^b\times {]}^2{\omega }_{ab}^b\end{array}$$

 

위 식을 벡터 미분 형태로 표현하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{{}^{b}d\overrightarrow{\beta }}{dt}={}^a{\overrightarrow{\omega }}^b+\frac{1}{2}\overrightarrow{\beta }\times {}^a{\overrightarrow{\omega }}^b+\frac{1}{{\beta }^2}(1-\frac{\beta \sin \beta }{2(1-\cos \beta )})\overrightarrow{\beta }\times (\overrightarrow{\beta }\times {}^a{\overrightarrow{\omega }}^b)\end{array}$$