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항공우주/동역학

강체의 운동방정식 - 3

by 세인트워터멜론 2022. 2. 6.

지금까지 파티클 시스템(systems of particles)에 대해서 다음과 같은 운동방정식을 얻었다.

 

 

\[ \begin{align} & \sum_{j=1}^n \vec{F}_j =m \frac{^id^2 \vec{r}_G }{dt^2}= m \frac{^id \vec{v}_G }{dt} \tag{1} \\ \\ & \sum_{j=1}^n \vec{M}_{jG} = \frac{^id \vec{H}_G }{dt} \tag{2} \\ \\ & \vec{H}_G= \sum_{j=1}^n \vec{r}_{j/G} \times m_j \frac{^id \vec{r}_j}{dt} \\ \\ & T= \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n m_j \frac{^id \vec{r}_{j/G}}{dt} \cdot \frac{^i d\vec{r}_{j/G}}{dt} \tag{3} \end{align} \]

 

여기서 \(G\) 는 질량중심점이다.

 

 

강체(rigid body)를 파티클의 연속적인 집합이며 파티클 사이의 거리가 변하지 않는 파티클 시스템으로 보면 식 (1)~(3)을 합(sum) 기호 대신 적분 기호로 바꾸어 강체에 적용할 수 있다.

다음 그림과 같이 강체를 구성하는 미소(infinitesimal) 질점 dm에 작용하는 미소 외력을 \(d \vec{F}\) 라고 하자. 그리고 강체의 질량중심 \(G\) 를 원점으로 하고 강제에 고정된 좌표계를 강체좌표계 \(\{b\}\) 라고 하자.

 

 

그림에서 \(\vec{r}_G\) 는 관성좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질량중심까지의 위치벡터, \(\vec{r}_p\) 는 관성좌표계의 원점에서 미소 질점 \(dm\) 까지의 위치벡터, \(\vec{r}\) 는 강체좌표계 \(\{b\}\) 의 원점에서 미소 질점 \(dm\) 까지의 위치벡터이다. 그러면 식 (1)로부터 다음 식이 성립한다.

 

\[ \vec{F}= \int d\vec{F} =m \frac{^id \vec{v}_G }{dt} \tag{4} \]

 

여기서 \(m\) 은 강체의 질량으로서 \(m= \int dm\) 이다. BKE(Basic Kinematic Equation)을 이용하면 식 (4)를 다음과 같이 전개할 수 있다.

 

 

기본 운동학 방정식 (BKE)

동일한 벡터라도 좌표계가 달라지면 그 표현이 달라진다. 뿐만 아니라 동일한 벡터를 시간 미분할 때도 미분을 수행하는 좌표계가 달라지면 그 값이 달라진다. 예를 들어 어떤 원판의 중심에서

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\[ \vec{F}= m \left( \frac{^b d \vec{v}_G}{dt} + ^i \vec{\omega}^b \times \vec{v}_G \right) \tag{5} \]

 

여기서 \( ^i \vec{\omega}^b\) 는 관성좌표계 \(\{i\}\) 에 대한 강체좌표계 \(\{b\}\) 의 각속도벡터다. 식 (5)를 병진 운동방정식(translational equation of motion)이라고 한다.

한편, 식 (2)로부터 강체에 작용하는 외력에 의해 생기는 질량중심에 관한 모멘트와 각운동량의 관계식을 얻을 수 있다.

 

\[ \vec{M}_G = \int d \vec{M}_G = \int \vec{r} \times d \vec{F}= \frac{^id \vec{H}_G }{dt} \tag{6} \]

 

BKE를 이용하면 식 (6)을 다음과 같이 전개할 수 있다.

 

\[ \vec{M}_G= \frac{ ^b d \vec{H}_G}{dt} + ^i \vec{\omega}^b \times \vec{H}_G \tag{7} \]

 

식 (7)에서 강체의 질량중심에 대한 강체의 각운동량 \(\vec{H}_G\) 는 다음과 같이 구할 수 있다,

 

\[ \begin{align} \vec{H}_G &= \int \vec{r} \times \frac{^i d\vec{r}_p }{dt} dm \tag{8} \\ \\ &= \int \vec{r} \times \left( \frac{^i d \vec{r}_G }{dt} + \frac{^i d \vec{r}}{dt} \right) dm \\ \\ &= \int \vec{r} \times \frac{^i d \vec{r}}{dt} dm \\ \\ &= \vec{H}_{G/G} \end{align} \]

 

BKE를 사용하여 위 식을 더 전개하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \vec{H}_G &= \int \vec{r} \times \left( \frac{ ^b d \vec{r}}{dt} + ^i \vec{\omega}^b \times \vec{r} \right) dm \tag{9} \\ \\ &= \int \vec{r} \times \left( ^i \vec{\omega}^b \times \vec{r} \right) dm \end{align} \]

 

강체로 가정했으므로 위 식에서 \( \frac{^b d \vec{r}}{dt}=0\) 이다. 다음과 같은 관계식을 이용하면,

 

\[ \begin{align} \vec{r} \times \left( ^i \vec{\omega}^b \times \vec{r} \right) &= (\vec{r} \cdot \vec{r} ) ^i \vec{\omega}^b - \vec{r} \left( \vec{r} \cdot ^i \vec{\omega}^b \right) \tag{10} \\ \\ &= \left( r^2 {^b \bar{U}} -\vec{r} \ \vec{r} \right) \cdot ^i \vec{\omega}^b \end{align} \]

 

식 (9)를 다음과 같이 간단하게 표기할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \vec{H}_G &= \int \left( r^2 {^b \bar{U}} - \vec{r} \ \vec{r} \right) \cdot ^i \vec{\omega}^b dm \tag{11} \\ \\ &= ^b \bar{I}_G \cdot ^i \vec{\omega}^b \end{align} \]

 

여기서 \(r=| \vec{r} |\) 이며,

 

\[ ^b \bar{I}_G = \int \left( r^2 {^b \bar{U}} - \vec{r} \ \vec{r} \right) dm \tag{12} \]

 

이다. 식 (10)에서 \(^b \bar{U}\) 를 좌표계 \(\{b\}\) 에 관한 단위 다이아딕(unit dyadic)이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 

\[ ^b \bar{U} = \hat{b}_1 \hat{b}_1+ \hat{b}_2 \hat{b}_2+ \hat{b}_3 \hat{b}_3 \tag{13} \]

 

단위 다이아딕 정의에 의하면 \(^b \bar{U} \cdot {^i \vec{\omega}^b } = {^i \vec{\omega}^b} \) 가 됨을 알 수 있다.

 

 

한편 식 (12)의 \( ^b \bar{I}_G\) 를 점 \(G\) 를 중심으로 하는 좌표계 \(\{b\}\) 에 관한 관성 다이아딕(inertia dyadic)이라고 한다. 관성 다이아딕 정의에 의하면 관성 다이아딕은 좌표계의 원점의 위치와 좌표축의 방향에 따라서 달라짐을 알 수 있다.

위치벡터 \(\vec{r}\) 의 좌표계 \(\{b\}\) 에 대한 각 축성분을 \(r_j = \vec{r} \cdot \hat{b}_j\) 라 하면 관성 다이아딕의 스칼라 성분은 다음과 같이 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} I_{jk} &= \hat{b}_j \cdot {^b \bar{I}_G} \cdot \hat{b}_k = \int \hat{b}_j \cdot \left( r^2 {^b \bar{U}} -\vec{r} \ \vec{r} \right) \cdot \hat{b}_k dm \tag{14} \\ \\ &= \int (r^2 \delta_{jk}- r_j r_k ) dm \end{align} \]

 

여기서 \(\delta_{jk}\) 는 크로넥커 델타 함수로서 \(j=k\) 일 때는 \(1\) 이고 \(j \ne k\) 이면 \(0\) 이다. 식 (14)의 다이아딕 스칼라 성분을 이용하면 관성 다이아딕을 다음과 같이 표현할 수도 있다.

 

\[ ^b \bar{I}_G = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 I_{jk} \hat{b}_j \hat{b}_k \tag{15} \]

 

관성 다이아딕의 스칼라 성분은 다음과 같이 행렬 형태로 표시할 수 있으며, 이 행렬을 관성 행렬(inertia matrix)이라고 한다.

 

\[ [ {^b \bar{I}_G} ] = \begin{bmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{bmatrix} \tag{16} \]

 

식 (11)을 (7)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \vec{M}_G ={ ^b \bar{I}_G} \cdot \frac{^b d {^i \vec{\omega}^b} }{dt} + {^i \vec{\omega}^b} \times \left( {^b \bar{I}_G} \cdot {^i \vec{\omega^b}} \right) \tag{17} \]

 

식 (17)을 회전 운동방정식(rotational equation of motion)식이라고 한다. 위 식에 의하면 회전 운동방징식은 병진 운동방정식과 완전히 분리되어 있음을 알 수 있다.

이제, 식 (3)을 이용하여 강체의 운동에너지를 구해보자. 식 (3)을 강체에 적용하면,

 

\[ T= \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} \int \frac{^i d \vec{r}}{dt} \cdot \frac{^i d \vec{r}}{dt} dm \tag{18} \]

 

BKE를 사용하여 위 식을 더 전개하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} T &= \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} \int \left( \frac{^b d \vec{r}}{dt} + {^i \vec{\omega}^b} \times \vec{r} \right) \cdot \left( \frac{^b d \vec{r}}{dt} + {^i \vec{\omega}^b} \times \vec{r} \right) dm \tag{19} \\ \\ &= \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} \int \left( {^i \vec{\omega}^b} \times \vec{r} \right) \cdot \left( {^i \vec{\omega}^b} \times \vec{r} \right) dm \\ \\ &= \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} \int {^i \vec{\omega}^b} \cdot \vec{r} \times \left( {^i \vec{\omega}^b} \times \vec{r} \right) dm \\ \\ &= \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} {^i \vec{\omega}^b} \cdot \left( \int \vec{r} \times \left( {^i \vec{\omega}^b} \times \vec{r} \right) dm \right) \end{align} \]

 

위 식의 두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어가는 연산에서는 \(\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}= \vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}\) 의 관계식을 이용하였다. 식 (9)와 (11)에 의하면 식 (19)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} T &= \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} {^i \vec{\omega}^b} \cdot \vec{H}_G \tag{20} \\ \\ & = \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} {^i \vec{\omega}^b} \cdot \left( {^b \bar{I}_G} \cdot {^i \vec{\omega}^b} \right) \end{align} \]

 

식 (20)에 의하면, 강체의 운동에너지는 질량중심의 병진 운동에너지와 질량중심에 대한 회전 운동에너지의 합으로 표현됨을 알 수 있다.

지금까지 질량중심을 기준으로 강체의 운동방정식을 유도하였다. 정리하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \vec{F}= m \left( \frac{^b d \vec{v}_G}{dt} + {^i\vec{\omega}^b} \times \vec{v}_G \right) \tag{21} \\ \\ & \vec{M}_G ={ ^b \bar{I}_G} \cdot \frac{^b d {^i \vec{\omega}^b} }{dt} + {^i \vec{\omega}^b} \times \left( {^b \bar{I}_G} \cdot {^i \vec{\omega^b}} \right) \\ \\ & T = \frac{1}{2} m \vec{v}_G \cdot \vec{v}_G+ \frac{1}{2} {^i \vec{\omega}^b} \cdot \left( {^b \bar{I}_G} \cdot {^i \vec{\omega}^b} \right) \end{align} \]

 

 

 

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