제트기의 항속시간(Endurance)과 항속거리(Range)

연료를 사용하는 항공기의 항속시간(endurance)이나 항속거리(range)를 계산할 때는 연료 소모에 따른 항공기의 무게 감소를 고려해야 한다.

 

 

시간당 또는 거리당 연료소모량을 알아야 하는데, 이와 관련하여 제트 엔진의 경우 항공기 엔진 제작사에서 제공하는 추력비연료소모량(tsfc, thrust specific fuel consumption)을 이용하면 된다.

제트기에서 사용하는 추력비연료소모량(tsfc) \(c_J\) 는 추력당 단위시간 동안 소모된 연료량으로 정의하며 수식으로는 다음과 같다.

 

\[ c_J= \frac{ \dot{W}_f}{T}= \frac{-\dot{W}}{T} \]

 

여기서 \(W\) 는 항공기 무게, \(T\) 는 추력, \(\dot{W}_f= \frac{dW_f}{dt}\) 는 시간당 연료 소모량이다. 위 식에 의하면,

 

\[ \frac{dW}{dt}= -c_J T \]

 

이므로

 

\[ dt= -\frac{dW}{c_J T} \]

 

가 된다. 따라서 항속시간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ E = \int_{t_0}^{t_1} dt = \int_{W_0 }^{W_1} -\frac{dW}{c_J T} \tag{1} \]

 

위 식에서 적분을 계산하기 위해서는 추력비연료소모량 및 추력과 항공기 무게 변화와의 함수 관계를 알아야 한다. 특별한 경우로서 항공기가 일정한 고도와 속도로 수평 비행을 한다고 가정하자. 그러면 다음 관계가 성립한다.

 

\[ L=W, \ \ \ T=D \]

 

여기서 \(L\) 은 양력, \(D\) 는 항력이다. 이 때 항공기 속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ v = \sqrt{ \frac{2W}{\rho S C_L}} \]

 

여기서 \(\rho\) 는 공기 밀도, \(S\) 는 항공기 기준 날개 면적, \(C_L\) 은 양력계수 이다.

 

 

그러면 식 (1)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} E &= \int_{W_0 }^{W_1} -\frac{dW}{c_J D } = \int_{W_0 }^{W_1} -\frac{1}{c_J} \frac{L}{D} \frac{dW}{W} \\ \\ &= \int_{W_0 }^{W_1} -\frac{1}{c_J} \frac{C_L}{C_D} \frac{dW}{W} \end{align} \]

 

여기서 \(C_D\) 는 항력계수다. 순항 비행하는 동안 추력비연료소모량, \(C_L\) 과 \(C_D\) 가 상수라고 가정하면 위식에서 항공기 무게만 변수가 되므로 항속시간은 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} E &= \frac{1}{c_J} \frac{ C_L}{C_D} \int_{W_1 }^{W_0} \frac{dW}{W} \\ \\ &= \frac{1}{c_J} \frac{ C_L}{C_D} \log \left( \frac{W_0}{W_1} \right) \end{align} \]

 

위 식을 제트기의 Breguet 항속시간 식이라고 한다.

위 식에 의하면 제트기에서 항속시간을 최대로 만들기 위해서는 작은 추력비연료소모량, 많은 연료량과 함께 \(\left( \frac{C_L}{C_D} \right)_\max \) 가 필요하다. 최대 항속시간을 계산하기 위하여 다음과 같은 항력계수 식을 고려한다.

 

\[ C_D = C_{D_0} + k C_L^2 \]

 

여기서 \(C_{D_0 }\) 는 양력이 \(0\) 일 때의 항력계수인 유해항력계수, \(k\) 는 유도양력계수이다. 그러면 \(\frac{C_L}{C_D}\) 는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \frac{C_L}{C_D} = \frac{C_L}{C_{D_0 }+kC_L^2 } \]

 

\(\frac{C_L}{C_D}\) 의 최대값은 \(\frac{C_L}{C_D}\) 를 \(C_L\) 로 미분한 후 \(0\) 으로 놓으면 구할 수 있다.

 

\[ \frac{d(C_L / C_D )}{dC_L }=0= \frac{C_{D_0 }+kC_L^2-C_L (2kC_L)}{ (C_{D_0 }+kC_L^2 )^2} \]

 

따라서 \(C_{D_0 }=kC_L^2\) 일 때 최대가 되며 그 값은 다음과 같다.

 

\[ \left( \frac{C_L}{C_D} \right)_\max = \frac{1}{2 \sqrt{kC_{D_0}} } \]

 

 

 

항속거리를 계산하기 위하여 미분의 연쇄법칙을 이용하면,

 

\[ \frac{dW}{dt}= \frac{dW}{ds} \frac{ds}{dt}= \frac{dW}{ds} v=-c_J T \]

 

이므로

 

\[ ds= -v \frac{dW}{c_J T} \]

 

가 된다. 따라서 항속거리는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ R= \int_{s_0 }^{s_1} ds = \int_{W_0 }^{W_1} -v \frac{dW}{c_J T} \]

 

항속시간을 계산할 때와 동일한 가정을 한다면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} R &= \int_{W_0 }^{W_1} -v \frac{dW}{c_J D} \\ \\ &= \int_{W_1 }^{W_0} \sqrt{ \frac{2W}{\rho SC_L}} \frac{dW}{c_J D } \\ \\ &= \int_{W_1 }^{W_0} \sqrt{ \frac{2W}{\rho SC_L}} \frac{L}{W} \frac{dW}{c_J D } \\ \\ &= \int_{W_1 }^{W_0} \sqrt{ \frac{2}{\rho S}} \frac{1}{c_J} \frac{ \sqrt{C_L}}{C_D} \frac{dW}{\sqrt{W}} \\ \\ &= \frac{2}{c_J} \sqrt{ \frac{2}{\rho S} } \frac{ \sqrt{C_L}}{C_D} \left( \sqrt{W_0}- \sqrt{W_1}\right) \end{align} \]

 

위 식을 제트기의 Breguet 항속거리 식이라고 한다.

위 식에 의하면 제트기에서 항속시간을 최대로 만들기 위해서는 작은 추력비연료소모량, 많은 연료량, 고고도에서의 비행과 함께 \( \left( \frac{C_L^{1/2}}{C_D} \right)_\max\) 가 필요하다. \( \frac{C_L^{1/2}}{C_D} \) 의 최대값은 \( \frac{C_L^{1/2}}{C_D} \) 를 \(C_L\) 로 미분한 후 \(0\) 으로 놓으면 구할 수 있다.

 

\[ \frac{d(C_L^{1/2}/C_D ) }{dC_L }=0= \frac{ \frac{1}{2} C_L^{-1/2} (C_{D_0 }+kC_L^2)-C_L^{1/2} (2kC_L) }{ (C_{D_0 }+kC_L^2 )^2 } \]

 

따라서 \(C_{D_0 }=3kC_L^2\) 일 때 최대가 되며 그 값은 다음과 같다.

 

\[ \left( \frac{C_L^{1/2} }{C_D }\right)_\max= \frac{3}{4} \left( \frac{1}{ 3kC_{D_0}^3} \right)^{1/4} \]