평평한 지구 가정에 의한 미사일 운동 방정식 유도

단거리 미사일의 경우 지구 자전속도, 중력 가속도 방향, 지표면의 곡률 등의 차이는 미사일 운동에 큰 영향을 끼치지 못한다. 이 경우에는 '평평한 지구 가정'을 적용할 수 있다.

평평한 지구 가정이란 지구가 자전하지 않고 지면이 평평한 것으로 가정하겠다는 뜻이다. 그러면 지표면에 고정된 한 점을 원점으로 한 고정 NED 좌표계(fixed local tangent frame) \(\{n\}\) 을 관성좌표계로 간주할 수 있다(일반적으로 미사일 운동을 위한 좌표계는 \(\{i\} \to \{e\} \to \{n\} \to \{d\} \to \{m\} \to \{b\}\) 순으로 전개된다). 그리고 지구 중력가속도 방향은 항상 NED 좌표계의 Down 방향(\(\hat{n}_3\))이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \vec{g}=g \ \hat{n}_3 \tag{1} \]

 

 

ECEF 좌표계에서 미사일의 운동 방정식을 다음과 같이 구한 바 있다.

 

\[ \frac{^ed \vec{V}}{dt}= \frac{\vec{L}}{m}+ \frac{\vec{D}}{m}+ \vec{g}+ \frac{\vec{T}}{m}-2 ^i \vec{\omega}^e \times \vec{V} -^i \vec{\omega}^e \times \left( ^i \vec{\omega}^e \times \vec{r} \right) \tag{2} \]

 

평평한 지구 가정을 적용하면

 

\[ \begin{align} & \frac{^e d \vec{V}}{dt} =\frac{^nd \vec{V}}{dt} \tag{3} \\ \\ & ^i \vec{\omega}^e= ^n \vec{\omega}^n=0 \end{align} \]

 

이므로 운동 방정식 (2)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{^nd \vec{V}}{dt}= \frac{\vec{L}}{m}+ \frac{\vec{D}}{m}+ \vec{g}+ \frac{\vec{T}}{m} \tag{4} \]

 

한편 운동 방정식을 구성하는 벡터는 다음 식으로 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \vec{V}=V \hat{d}_1 \tag{5} \\ \\ & \vec{D}= -D \hat{d}_1 \\ \\ & \vec{T}=T \hat{b}_1 \\ \\ & \vec{L}= -L \hat{m}_3 \end{align} \]

 

여기서 \(\hat{d}_i, \hat{m}_i, \hat{b}_i\) 는 좌표계 \(\{d\}, \{m\}, \{b\}\) 의 해당 축을 의미한다.

속도벡터 \(\vec{V}\) 를 좌표계 \(\{d\}\) 에서 미분해 보자. 식 (4)와 BKE를 이용하면 다음 관계식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} \frac{^dd \vec{V}}{dt} &= \frac{^nd \vec{V}}{dt} +^d \vec{\omega}^n \times \vec{V} \tag{6} \\ \\ &= \frac{\vec{L}}{m}+ \frac{\vec{D}}{m}+ \vec{g}+ \frac{\vec{T}}{m}+ ^d\vec{\omega}^n \times \vec{V} \end{align} \]

 

식 (6)을 좌표계 \(\{d\}\) 로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \dot{V}^d= -[\omega_{nd}^d \times] V^d+ \frac{C_m^d L^m}{m}+ \frac{D^d}{m}+C_n^d g^n+ \frac{C_b^d T^b}{m} \tag{7} \]

 

여기서 \(^d\vec{\omega}^n =-^n \vec{\omega}^d\) 임을 이용하였다. \(^n \vec{\omega}^d\) 는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ ^n \vec{\omega}^d = \dot{\psi} \ \hat{n}_3+ \dot{\gamma} \ \hat{d}_2 \tag{8} \]

 

식 (8)을 이용하여 \(^n \vec{\omega}^d\) 를 좌표계 \(\{d\}\) 로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \omega_{nd}^d &= C_n^d \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{\gamma} \\ 0 \end{bmatrix} \tag{9} \\ \\ &= \begin{bmatrix} - \dot{\psi} \sin \gamma \\ \dot{\gamma} \\ \dot{\psi} \cos \gamma \end{bmatrix} \end{align} \]

 

따라서 식 (7)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} \dot{V} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} &= - \begin{bmatrix} 0 \\ V \dot{\psi} \cos \gamma \\ -V \dot{\gamma} \end{bmatrix} + \frac{1}{m} \begin{bmatrix} 0 \\ L \sin \sigma \\ -L \cos \sigma \end{bmatrix} + \frac{1}{m} \begin{bmatrix} -D \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{10} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \begin{bmatrix} -g \sin \gamma \\ 0 \\ g \cos \gamma \end{bmatrix} + \frac{C^d_b T^b}{m} \end{align} \]

 

식 (10)의 벡터를 각 성분별로 정리하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \dot{V} = -\frac{D}{m}+ \frac{T \cos \epsilon}{m} -g \sin \gamma \tag{11} \\ \\ & \dot{\psi} = \frac{(L+T \sin \epsilon ) \sin \sigma}{mV \cos \gamma} \\ \\ & \dot{\gamma} = \frac{(L+T \sin \epsilon ) \cos \sigma }{mV}- \frac{g \cos \gamma}{V} \end{align} \]

 

한편, 미사일의 위치를 계산하기 위하여 위치벡터를 좌표계 \(\{n\}\) 으로 표현한다.

 

\[ \vec{r}=x \hat{n}_1+y \hat{n}_2-h \hat{n}_3 \tag{12} \]

 

그러면 속도 관계식에 의해서 다음 식이 성립한다.

 

\[ V^n= \dot{r}^n=C_d^n V^d \tag{13} \]

 

식 (13)을 풀어 쓰면 다음과 같이 미사일의 위치를 좌표계 \(\{n\}\) (여기서는 관성 좌표계)으로 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \dot{x}=V \cos⁡ \psi \cos \gamma \tag{14} \\ \\ & \dot{y} ̇=V \sin \psi \cos \gamma \\ \\ & \dot{h}=V \sin \gamma \end{align} \]

 

식 (11)과 (14)는 단거리 미사일의 종말 단계에서 많이 사용되는 운동 방정식이다. 탄도 미사일의 경우 종말 단계에서는 추력이 \(0\) 이므로 \(T=0 \) 으로 설정한다. 크루즈 미사일의 경우 종말 단계에서는 속력이 일정하므로 식 (11)에서 첫번째 식을 제외시킨다. 그리고 \(\epsilon=0\) 으로 가정해서 다음과 같은 간략화된 식을 사용한다.

 

\[ \begin{align} & \dot{V} = 0 \tag{15} \\ \\ & \dot{\psi} = \frac{L \sin \sigma }{mV \cos \gamma} \\ \\ & \dot{\gamma} = \frac{L \cos \sigma }{mV}- \frac{g \cos \gamma}{V} \end{align} \]