이체문제에서 궤도의 모양

이체문제(two-body problem) 가정하에서 다음 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다.

 

 

 

\[ \frac{ ^i d^2 \vec{r} }{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \tag{1} \]

 

여기서 \(\mu=GM\) 은 중력 파라미터, \(\vec{r}\) 은 관성 좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질점 \(m \ll M\) 까지의 위치벡터, \(r\) 은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다.

 

 

그리고 기본 방정식으로부터 다음과 같이 궤적 방정식(trajectory equation)을 유도하였다.

 

\[ r= \frac{p}{1+e \cos \theta } \tag{2} \]

 

여기서 \(p\) 는 통반경 (semi-latus rectum), \(e\) 는 이심율 (eccentricity), \(\theta\) 는 실제 비행각(true anomaly)이다. 위 식은 또한 원추 단면 방정식 (equation for conic section)이라고도 하는데, 원추를 어떻게 자르느냐에 따라 원추의 단면이 원 (circle), 타원 (ellipse), 포물선 (parabola), 쌍곡선 (hyperbola) 모양이 되듯이, 궤적 방정식도 \(e\) 값에 따라서 각각 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 식이 되기 때문이다.

따라서 궤적 방정식에 의하면 이체문제 가정하에서 질점 \(m\) 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 궤도 밖에 없다는 것을 보여준다.

그런데 궤적 방정식이 왜 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 식이 되는지 선뜻 이해가 가지 않을 수 있다. 따라서 식 (2)의 \(e\) 값에 따른 궤도의 모양에 대해서 자세히 알아보고자 한다.

먼저 \(e=0\) 이면 원의 식이 된다.
식 (2)에 의하면 \(e=0\) 이면 \(r=p\) 가 된다. \(p\) 는 상수이기 때문에 관성 좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질점 \(m\) 까지의 거리는 상수가 되므로 질점 \(m\) 의 궤도 모양은 반지름 \(p\) 인 원이 된다.

 

 

두번째로 \(0 \lt e \lt 1\) 이면 타원 식이 된다.
타원은 다음 그림과 같이 두 초점 \((c, 0)\) 과 \((-c, 0)\) 까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 정의된다.

 

 

따라서 타원상의 점 \(m\) 은 다음 식을 만족한다.

 

\[ r+ \sqrt{ (2c+r \cos \theta )^2+ (r \sin⁡ \theta )^2 } = 2a \tag{3} \]

 

위 식을 \(r\) 의 식으로 정리하면 다음과 같다.

 

\[ r= \frac{a^2-c^2}{ a+ c \cos \theta } = \frac{ (a^2-c^2)/a}{ 1+ \left( \frac{c}{a} \right) \cos \theta } \tag{4} \]

 

여기서 \(e= \left( \frac{c}{a} \right) \) 는 타원의 이심율이므로 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ r= \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos \theta } \tag{5} \]

 

위 식에서 이심율의 범위는 명백히 \( 0 \lt e= \left( \frac{c}{a} \right) \lt 1\) 이며, \(p=a(1-e^2)\) 로 놓는다면 식 (5)와 식 (2)는 일치함을 알 수 있다.

식 (5)에서 \(a\) 를 타원의 장반경 (semi-major axis), \(b\) 를 단반경 (semi-minor axis)이라고 한다. 기하학적인 관계로부터 \( b^2=a^2-c^2=a^2 (1-e^2)\) 의 관계식이 성립함을 알 수 있으며, 실제 비행각 (true anomaly) \(\theta\) 는 타원의 장반경 축에서부터 측정한다는 것에 주의해야 한다.

세번째로 \(e=1\) 이면 포물선 식이 된다.
포물선은 다음 그림과 같이 초점 \((0, 0)\) 과 직선 \(x=p\) 까지의 거리가 일정한 점들의 집합으로 정의된다.

 

 

따라서 포물선의 점 \(m\) 은 다음 식을 만족한다.

 

\[ r=p-r \cos \theta \tag{6} \]

 

위 식을 \(r\) 의 식으로 정리하면 다음과 같다.

 

\[ r= \frac{p}{ 1+ \cos \theta } \tag{7} \]

 

식 (7)을 (2)와 비교하면 \(e=1\) 일 때 두 식이 일치함을 알 수 있다.

 

 

네번째로 \(e \gt 1\) 이면 쌍곡선 식이 된다.
쌍곡선은 다음 그림과 같이 두 초점 \((c, 0)\) 과 \((-c, 0)\) 까지의 거리의 차가 일정한 점들의 집합으로 정의된다.

 

 

따라서 쌍곡선 상의 점 \(m\) 은 다음 식을 만족한다.

 

\[ \sqrt{ (2c-r \cos \theta )^2 + (r \sin \theta )^2 } - r = 2a \tag{8} \]

 

위 식을 \(r\) 의 식으로 정리하면 다음과 같다.

 

\[ r= \frac{c^2-a^2 }{ a+c \cos \theta } = \frac{ (c^2-a^2)/a}{ 1+ \left( \frac{c}{a} \right) \cos \theta } \tag{9} \]

 

위 식에서 \(a\) 를 \(-a\) 로, \(c\) 를 \(-c\) 로 치환하면 식 (9)는 다음과 같이 타원의 식 (4)와 동일한 형태로 바뀐다.

 

\[ r= \frac{ (-c)^2-(-a)^2 }{ -a-c \cos \theta }= \frac{(a^2-c^2)/a}{1+ \left( \frac{c}{a} \right) \cos \theta } \tag{10} \]

 

타원의 식과 마찬가지로 위 식에서 \(e= \left( \frac{c}{a} \right) \) 로 놓으면

 

\[ r= \frac{ a(1-e^2)}{ 1+e \cos \theta } \tag{11} \]

 

이 된다. 위 식에서 이심율의 범위는 \(e \gt 1 \) 이며, \(p=a(1-e^2)\) 로 놓으면 식 (2)와 일치함을 알 수 있다.

이상으로 궤적 방정식이 \(e\) 값에 따라서 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 식이 됨을 보였다.