케플러(Kepler) 법칙의 증명

케플러(Kepler)의 세가지 법칙은 이체문제(two-body problem) 가정 하에 뉴턴의 제2법칙과 만유인력의 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.

 

 

케플러의 법칙은 주로 화성을 관찰하여 얻은 경험적인 법칙이지만 지구를 비롯한 모든 행성뿐만 아니라 우주비행체에도 적용된다.

 

 

케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다.
이체문제 가정 하에 질점 \(m\) 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 \(m\) 을 행성, 질점 \(M\) 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다.

케플러의 제2법칙은 질점 \(M\) 과 질점 \(m\) (태양과 행성의 중심)을 연결한 선은 동일한 시간동안 동일한 면적을 휩쓸고 지나간다는 면적속도 일정의 법칙이다.

이 법칙에 의하면 질점 \(m\) 의 속도는 질점 \(M\) 에 가까운 지점에서는 빠르고 먼 지점에서는 느리게 된다.

 

 

다음 그림과 같이 짧은 시간 \(dt\) 동안 질점 \(m\) 의 위치가 \(\vec{r}(t)\) 에서 \(\vec{r}(t+dt)\) 로 \(d\vec{r}\) 만큼 이동했다고 가정하자. 이 때 질점 \(M\) 과 질점 \(m\) 을 연결한 선이 휩쓸고 간 면적이 \(dA\) 이다.

 

 

\(dA\) 는 \(\vec{r}(t), \vec{r}(t+dt), d\vec{r}\) 을 변으로 하는 삼각형의 면적이므로 다음과 같이 주어진다.

 

\[ dA= \frac{1}{2} \left| \vec{r} \times d\vec{r} \right| \tag{1} \]

 

여기서 \(d\vec{r}= \vec{v} dt\) 이므로, 위 식에 대입하면

 

\[ dA= \frac{1}{2} \left| \vec{r} \times \vec{v} dt \right| = \frac{1}{2} \left| \vec{h} \right| dt \tag{2} \]

 

가 된다. 여기서 \(\vec{h}\) 는 단위 질량당 각운동량 벡터이다. 이제 양변을 \(dt\) 로 나누면

 

\[ \frac{dA}{dt} = \frac{h}{2} = \mbox{constant} \tag{3} \]

 

가 되므로 케플러의 제2법칙이 증명된다.

케플러의 제3법칙은 질점 \(m\) (행성)의 공전주기의 제곱은 궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다는 조화의 법칙이다.
제3법칙은 다른 법칙과는 달리 원 또는 타원궤도에만 적용이 된다. 원궤도는 타원궤도의 특별한 경우이므로 아래 그림과 같이 타원궤도만을 가정하도록 하자.

 

 

먼저 케플러의 제2법칙인 식 (3)의 양변을 적분한다.

 

\[ \int_0^A dA = \int_0^T \frac{h}{2} \ dt \tag{4} \]

 

여기서 \(A\) 는 타원궤도의 면적이며 \(T\) 는 타원궤도를 일주하는데 걸리는 시간인 주기(period)이다. 각운동량은 상수이므로 위 식을 적분하고 타원궤도의 면적이 \(A=\pi ab\), 각운동량의 크기는 \(h=\sqrt{\mu p}\) 임을 고려하면, 주기는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ T= \frac{2A}{h} = \frac{2 \pi ab}{ \sqrt{\mu p}} \tag{5} \]

 

여기서 \(b=a \sqrt{1-e^2}\) 이고, \(p=a(1-e^2)\) 이므로 위 식에 대입하면

 

\[ T= \frac{ 2 \pi a^2 \sqrt{1-e^2 }}{ \sqrt{ \mu a(1-e^2) }} = \frac{2 \pi }{ \sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}} \tag{6} \]

 

가 되어서, 주기의 제곱은 장반경의 세제곱에 비례함을 알 수 있다.