[CR3BP] 운동방정식 유도

삼체문제(three-body problem)에서 세 질점 중 한 개의 질점의 질량 $m_3$이 다른 두 질점 $m_1$, $m_2$보다 훨씬 작아서 무시할 수 있을 정도라고 가정해 보자.

그러면 질점 $m_3$는 두 질점 $m_1$ 및 $m_2$에는 어떤 영향도 미치지 못할 것이므로 두 질점 $m_1$과 $m_2$의 운동은 이체문제(two-body problem)로 간주할 있다. 이와 같이 삼체문제를 특수한 경우로 제한한 문제를 '제한된 삼체문제(restricted three-body problem)' 라고 한다.

 

 

제한된 삼체문제에서 두 질점 $m_1$과 $m_2$의 운동은 이체문제를 따르므로 그 궤도는 두 질점 공통의 질량중심점을 중심으로 한 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 증의 하나가 된다.

여기서 두 질점이 질량중심점에 대해 원궤도를 갖는다고 가정해 보자. 그러면 제한된 삼체문제에 또 하나의 제한을 두는 것이므로 이를 '원궤도를 갖는 제한된 삼체문제(circular restricted three-body problem)' 또는 약어로 CR3BP라고 한다.

 

 

CR3BP에서 관심사는 두 질점의 운동에는 전혀 영향을 미치지 못하면서 두 질점의 만유인력 영향 하에서 움직이는 질점 $m_3$의 운동이다.

CR3BP를 적용할 수 있는 문제에는 지구, 달, 우주선으로 이루어진 삼체문제나 지구, 태양, 우주선으로 이루어진 삼체문제, 또는 태양, 목성, 목성의 위성으로 이루어진 삼체문제 등이 있을 수 있다.

달의 공전궤도나 지구의 공전 궤도 등이 작은 이심율을 갖는 타원이고 원형이 아니긴 하지만 CR3BP을 적용하면 질점 $m_3$에 해당하는 우주선이나 목성의 위성 등의 운동을 정성적으로 잘 이해할 수 있고 이 운동의 정량적인 근사값을 얻을 수 있다.

질점 $m_1$과 $m_2$는 공통의 질량중심점을 중심으로 원궤도 운동을 하는 이체문제로 가정했으므로 두 질점의 운동은 이미 정해져 있다. 먼저 두 질점의 운동을 수학식으로 표현해 보자.

 

 

그림에서 $\{i\}$는 관성좌표계로서 원점은 두 질점의 질량중심점(cm)에 있다. $\{b\}$는 시노딕 좌표계(synodic frame)로서 원점은 질량중심점에 있고 좌표계의 ${\hat{b}}_1$축은 원점에서 질점 $m_2$를 가리키는 방향이다. ${\hat{i}}_3$와 ${\hat{b}}_3$축은 공전 회전축 방향으로서 궤도면에서 직각인 방향이다.

먼저 원궤도의 주기는

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& T_s& =2\pi (r_1+r_2)\sqrt{\frac{r_1+r_2}{G(m_1+m_2)}}\\ & =2\pi \sqrt{\frac{(r_1+r_2{)}^3}{G(m_1+m_2)}}\end{array}$$

 

이므로 각속도는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(2)}& {\omega }_s=\frac{2\pi }{T_s}=\sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{(r_1+r_2{)}^3}} \\ \end{array} \end{gathered}$$

 

따라서 $t=0$ 일 때 질점 $m_1$과 $m_2$가 관성좌표계 $\{i\}$의 ${\hat{i}}_1$축에 있었다고 가정하면 즉 ${\hat{i}}_1={\hat{b}}_1$ 이었다면 좌표계 $\{i\}$에서 $\{b\}$로의 DCM(direction cosine matrix, 방향코사인행렬)은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& C_s^i=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\omega }_{s}t& -\sin {\omega }_{s}t& 0\\ \sin {\omega }_{s}t& \cos {\omega }_{s}t& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

 

여기까지는 이체문제에서 원궤도 운동에 관한 것이었고 이제 제3의 질점을 추가해보자. 이 질점은 질량이 두개의 두 질점보다 비교할 수 없을 정도로 작아서 두 질점의 원궤도 운동에 어떠한 영향도 미치지 못한다.

 

 

이 질점의 질량을 $m$으로 아래 첨자 없이 표시하겠다. 질량중심점에서 이 질점까지의 위치벡터를 $\overrightarrow{r}$ 로, 질점 $m_1$과 $m_2$에서 이 질점까지의 위치벡터를 각각 ${\overrightarrow{r}}_{13}$과 ${\overrightarrow{r}}_{23}$으로 표시한다.

 

 

제3의 질점 $m$에는 질점 $m_1$과 $m_2$으로부터의 만유인력이 작용하므로 운동 방정식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}=-G\frac{m_1}{r_{13}^3}{\overrightarrow{r}}_{13}-G\frac{m_2}{r_{23}^3}{\overrightarrow{r}}_{23}\end{array}$$

 

관성좌표계에 대한 $\overrightarrow{r}$의 시간미분을 시노딕 좌표계에 대한 시간미분으로 변경하기 위해서 기본 운동학 방정식(BKE)를 적용하자. 먼저 질점 $m$의 속도 관계식을 보면,

 

$$\overrightarrow{v}=\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{{}^{b}d\overrightarrow{r}}{dt}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \overrightarrow{r}$$

 

이므로 가속도 관계식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& \frac{{}^{i}d\overrightarrow{v}}{dt}& =\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}\\ & =\frac{{}^b{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+2^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \frac{{}^{b}d\overrightarrow{r}}{dt}+\frac{{}^b{d}^i{\overrightarrow{\omega }}^b}{dt}\times \overrightarrow{r}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times {(}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \overrightarrow{r})\\ \\ & =\frac{{}^b{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+2^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \frac{{}^{b}d\overrightarrow{r}}{dt}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times {(}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \overrightarrow{r})\end{array}$$

 

여기서 ${}^i{\overrightarrow{\omega }}^b$ 는 관성좌표계에 대한 시노딕 좌표계의 각속도벡터로서 ${}^i{\overrightarrow{\omega }}^b={\omega }_s{\hat{b}}_3$ 로 주어지는 상수 벡터임을 이용하였다.

식 (5)를 (4)에 대입하면 질점 $m$의 운동방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{{}^b{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+2^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \frac{{}^{b}d\overrightarrow{r}}{dt}{+}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times {(}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \overrightarrow{r})=-G\frac{m_1}{r_{13}^3}{\overrightarrow{r}}_{13}-G\frac{m_2}{r_{23}^3}{\overrightarrow{r}}_{23}\end{array}$$

 

식 (6)의 오른쪽 변에서 첫번째 항은 시노딕 좌표계에서 계산되는 질점 $m$의 가속도, 두번째 항은 코리올리스 가속도, 세번째 항은 구심 가속도이다.

이제 식 (6)의 벡터 항들을 시노딕 좌표계의 각 축성분으로 표시해 보자. 먼저 위치벡터 $\overrightarrow{r}$의 시노딕 좌표계 축성분을 다음과 같이 표시하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \overrightarrow{r}=x{\hat{b}}_1+y{\hat{b}}_2+z{\hat{b}}_3\end{array}$$

 

그러면 ${\overrightarrow{r}}_1=-r_1{\hat{b}}_1$, ${\overrightarrow{r}}_2=r_2{\hat{b}}_2$ 이므로

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& & {\overrightarrow{r}}_{13}=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1=(x+r_1){\hat{b}}_1+y{\hat{b}}_2+z{\hat{b}}_3\\ & {\overrightarrow{r}}_{23}=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_2=(x-r_2){\hat{b}}_1+y{\hat{b}}_2+z{\hat{b}}_3\end{array}$$

 

가 된다. 한편 코리올리스 가속도는

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& 2^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \frac{{}^{b}d\overrightarrow{r}}{dt}& =2({\omega }_s{\hat{b}}_3)\times (\dot{x}){\hat{b}}_1+\dot{y}{\hat{b}}_2+\dot{z}{\hat{b}}_3)\\ & =2{\omega }_s\dot{x}{\hat{b}}_2-2{\omega }_s\dot{y}{\hat{b}}_1\end{array}$$

 

가 되며, 구심 가속도는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times {(}^i{\overrightarrow{\omega }}^b\times \overrightarrow{r})=-{\omega }_s^{2}x{\hat{b}}_1-{\omega }_s^{2}y{\hat{b}}_2\end{array}$$

 

식 (7)~(10)을 식 (6)에 대입하면, CR3BP의 운동방정식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& & \ddot{x}-2{\omega }_s\dot{y}-{\omega }_s^{2}x=-\frac{G{m}_1(x+r_1)}{r_{13}^3}-\frac{G{m}_2(x-r_2)}{r_{23}^3}\\ & \ddot{y}+2{\omega }_s\dot{x}-{\omega }_s^{2}y=-\frac{G{m}_{1}y}{r_{13}^3}-\frac{G{m}_{2}y}{r_{23}^3}\\ \\ & \ddot{z}=-\frac{G{m}_{1}z}{r_{13}^3}-\frac{G{m}_{2}z}{r_{23}^3}\end{array}$$

 

여기서

 

$$\begin{array}{rl}& r_{13}=\sqrt{(x+r_1{)}^2+y^2+z^2}\\ \\ & r_{23}=\sqrt{(x-r_2{)}^2+y^2+z^2}\end{array}$$

 

이다.