[CR3BP] 운동방정식 유도

삼체문제(three-body problem)에서 세 질점 중 한 개의 질점의 질량 \(m_3\)이 다른 두 질점 \(m_1\), \(m_2\)보다 훨씬 작아서 무시할 수 있을 정도라고 가정해 보자.

그러면 질점 \(m_3\)는 두 질점 \(m_1\) 및 \(m_2\)에는 어떤 영향도 미치지 못할 것이므로 두 질점 \(m_1\)과 \(m_2\)의 운동은 이체문제(two-body problem)로 간주할 있다. 이와 같이 삼체문제를 특수한 경우로 제한한 문제를 '제한된 삼체문제(restricted three-body problem)' 라고 한다.

 

 

제한된 삼체문제에서 두 질점 \(m_1\)과 \(m_2\)의 운동은 이체문제를 따르므로 그 궤도는 두 질점 공통의 질량중심점을 중심으로 한 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 증의 하나가 된다.

여기서 두 질점이 질량중심점에 대해 원궤도를 갖는다고 가정해 보자. 그러면 제한된 삼체문제에 또 하나의 제한을 두는 것이므로 이를 '원궤도를 갖는 제한된 삼체문제(circular restricted three-body problem)' 또는 약어로 CR3BP라고 한다.

 

 

CR3BP에서 관심사는 두 질점의 운동에는 전혀 영향을 미치지 못하면서 두 질점의 만유인력 영향 하에서 움직이는 질점 \(m_3\)의 운동이다.

CR3BP를 적용할 수 있는 문제에는 지구, 달, 우주선으로 이루어진 삼체문제나 지구, 태양, 우주선으로 이루어진 삼체문제, 또는 태양, 목성, 목성의 위성으로 이루어진 삼체문제 등이 있을 수 있다.

달의 공전궤도나 지구의 공전 궤도 등이 작은 이심율을 갖는 타원이고 원형이 아니긴 하지만 CR3BP을 적용하면 질점 \(m_3\)에 해당하는 우주선이나 목성의 위성 등의 운동을 정성적으로 잘 이해할 수 있고 이 운동의 정량적인 근사값을 얻을 수 있다.

질점 \(m_1\)과 \(m_2\)는 공통의 질량중심점을 중심으로 원궤도 운동을 하는 이체문제로 가정했으므로 두 질점의 운동은 이미 정해져 있다. 먼저 두 질점의 운동을 수학식으로 표현해 보자.

 

 

그림에서 \(\{i\}\)는 관성좌표계로서 원점은 두 질점의 질량중심점(cm)에 있다. \(\{b\}\)는 시노딕 좌표계(synodic frame)로서 원점은 질량중심점에 있고 좌표계의 \(\hat{b}_1\)축은 원점에서 질점 \(m_2\)를 가리키는 방향이다. \(\hat{i}_3\)와 \(\hat{b}_3\)축은 공전 회전축 방향으로서 궤도면에서 직각인 방향이다.

먼저 원궤도의 주기는

 

\[ \begin{align} T_s &= 2\pi (r_1 +r_2) \sqrt{\frac{r_1+r_2}{G(m_1+m_2)}} \tag{1} \\ \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{(r_1+r_2)^3}{G(m_1+m_2)}} \end{align} \]

 

이므로 각속도는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \omega_s = \frac{2\pi}{T_s} = \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{(r_1+r_2)^3}} \tag{2} \\ \\ \]

 

따라서 \(t=0\) 일 때 질점 \(m_1\)과 \(m_2\)가 관성좌표계 \(\{i\}\)의 \(\hat{i}_1\)축에 있었다고 가정하면 즉 \(\hat{i}_1=\hat{b}_1\) 이었다면 좌표계 \(\{i\}\)에서 \(\{b\}\)로의 DCM(direction cosine matrix, 방향코사인행렬)은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ C^i_s = \begin{bmatrix} \cos \omega_s t & -\sin \omega_s t & 0 \\ \sin \omega_s t & \cos \omega_s t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{3} \]

 

여기까지는 이체문제에서 원궤도 운동에 관한 것이었고 이제 제3의 질점을 추가해보자. 이 질점은 질량이 두개의 두 질점보다 비교할 수 없을 정도로 작아서 두 질점의 원궤도 운동에 어떠한 영향도 미치지 못한다.

 

 

이 질점의 질량을 \(m\)으로 아래 첨자 없이 표시하겠다. 질량중심점에서 이 질점까지의 위치벡터를 \(\vec{r}\) 로, 질점 \(m_1\)과 \(m_2\)에서 이 질점까지의 위치벡터를 각각 \(\vec{r}_{13}\)과 \(\vec{r}_{23}\)으로 표시한다.

 

 

제3의 질점 \(m\)에는 질점 \(m_1\)과 \(m_2\)으로부터의 만유인력이 작용하므로 운동 방정식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{^i d^2 \vec{r}}{dt^2}= -G \frac{m_1}{r^3_{13}} \vec{r}_{13} -G \frac{m_2}{r^3_{23}} \vec{r}_{23} \tag{4} \]

 

관성좌표계에 대한 \(\vec{r}\)의 시간미분을 시노딕 좌표계에 대한 시간미분으로 변경하기 위해서 기본 운동학 방정식(BKE)를 적용하자. 먼저 질점 \(m\)의 속도 관계식을 보면,

 

\[ \vec{v}=\frac{^i d \vec{r}}{dt}= \frac{^b d \vec{r}}{dt} +^i \vec{\omega}^b \times \vec{r} \]

 

이므로 가속도 관계식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \frac{^i d \vec{v}}{dt} &= \frac{^i d^2 \vec{r}}{dt^2} \tag{5} \\ \\ &= \frac{^b d^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 ^i \vec{\omega}^b \times \frac{^b d \vec{r}}{dt} + \frac{^b d ^i\vec{\omega}^b}{dt} \times \vec{r} + ^i\vec{\omega}^b \times ( ^i\vec{\omega}^b \times \vec{r} ) \\ \\ &= \frac{^b d^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 ^i \vec{\omega}^b \times \frac{^b d \vec{r}}{dt} + ^i\vec{\omega}^b \times ( ^i\vec{\omega}^b \times \vec{r} ) \end{align} \]

 

여기서 \(^i \vec{\omega}^b\) 는 관성좌표계에 대한 시노딕 좌표계의 각속도벡터로서 \(^i\vec{\omega}^b =\omega_s \hat{b}_3\) 로 주어지는 상수 벡터임을 이용하였다.

식 (5)를 (4)에 대입하면 질점 \(m\)의 운동방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

 

\[ \frac{^b d^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 ^i \vec{\omega}^b \times \frac{^b d \vec{r}}{dt} + ^i\vec{\omega}^b \times ( ^i\vec{\omega}^b \times \vec{r} ) = -G \frac{m_1}{r^3_{13}} \vec{r}_{13} -G \frac{m_2}{r^3_{23}} \vec{r}_{23} \tag{6} \]

 

식 (6)의 오른쪽 변에서 첫번째 항은 시노딕 좌표계에서 계산되는 질점 \(m\)의 가속도, 두번째 항은 코리올리스 가속도, 세번째 항은 구심 가속도이다.

이제 식 (6)의 벡터 항들을 시노딕 좌표계의 각 축성분으로 표시해 보자. 먼저 위치벡터 \(\vec{r}\)의 시노딕 좌표계 축성분을 다음과 같이 표시하자.

 

\[ \vec{r}= x\hat{b}_1 + y\hat{b}_2 + z\hat{b}_3 \tag{7} \]

 

그러면 \(\vec{r}_1=-r_1 \hat{b}_1\), \( \ \vec{r}_2=r_2 \hat{b}_2\) 이므로

 

\[ \begin{align} & \vec{r}_{13}= \vec{r}-\vec{r}_1 = (x+r_1) \hat{b}_1 + y\hat{b}_2 + z\hat{b}_3 \tag{8} \\ \\ & \vec{r}_{23}= \vec{r}-\vec{r}_2 = (x-r_2) \hat{b}_1 + y\hat{b}_2 + z\hat{b}_3 \end{align} \]

 

가 된다. 한편 코리올리스 가속도는

 

\[ \begin{align} 2 ^i \vec{\omega}^b \times \frac{ ^b d \vec{r}}{dt} &= 2 (\omega_s \hat{b}_3) \times (\dot{x}) \hat{b}_1 + \dot{y} \hat{b}_2 + \dot{z}\hat{b}_3 ) \tag{9} \\ \\ &= 2 \omega_s \dot{x} \hat{b}_2 -2 \omega_s \dot{y} \hat{b}_1 \end{align} \]

 

가 되며, 구심 가속도는 다음과 같이 된다.

 

\[ ^i \vec{\omega}^b \times (^i \vec{\omega}^b \times \vec{r} ) = -\omega_s^2 x \hat{b}_1 - \omega_s^2 y \hat{b}_2 \tag{10} \]

 

식 (7)~(10)을 식 (6)에 대입하면, CR3BP의 운동방정식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} & \ddot{x} - 2\omega_s \dot{y} -\omega_s^2 x = -\frac{Gm_1 (x+r_1)}{r^3_{13}} -\frac{Gm_2 (x-r_2)}{r^3_{23}} \tag{11} \\ \\ & \ddot{y} + 2\omega_s \dot{x} -\omega_s^2 y = -\frac{Gm_1 y}{r^3_{13}} -\frac{Gm_2 y}{r^3_{23}} \\ \\ & \ddot{z} = -\frac{Gm_1 z}{r^3_{13}} -\frac{Gm_2 z}{r^3_{23}} \end{align} \]

 

여기서

 

\[ \begin{align} & r_{13} = \sqrt{(x+r_1)^2 + y^2 +z^2} \\ \\ & r_{23} = \sqrt{(x-r_2)^2 + y^2 +z^2} \end{align} \]

 

이다.