삼체문제 (Three-Body Problem)

이체문제(two-body problem)에서는 전 우주에 질점(point mass)이 딱 2개 밖에 없으며 두 질점 사이에는 만유인력만 작용한다는 가정하에서 두 질점의 운동에 관한 문제를 다루었다. 이체문제는 해석적인 해가 존재했으며 두 질점의 절대적인 또는 상대적인 궤도의 모양은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 중의 하나였다.

 

 

삼체문제(three-body problem)는 이체문제에 질점 하나를 추가한 것이다. 전 우주에 질점이 3개밖에 없으며 세 질점 사이에 만유인력만 작용한다는 가정하에서 세 질점의 운동을 다루는 문제다.

삼체문제는 질점 하나를 더 추가했을 뿐이지만 이체문제와는 확연히 다른 매우 복잡한 운동의 모습을 보여준다.

우선 삼체문제는 해석적인 해가 없다. 수치적으로 운동 방정식을 풀어야 한다. 또한 이체문제에서는 궤도의 모양이 4개만 존재했지만 삼체문제에서는 초기조건에 따라 무수히 많은 궤도의 모양이 존재한다.

개중에는 주기 운동도 있지만,

 

 

대부분은 카오스(chaos)적인 비주기적 운동 패턴을 갖는다.

 

 

다음 유튜브 영상에서 삼체문제가 가질 수 있는 비주기 또는 주기 궤도 운동의 일부 모습과 해당 매트랩 코드를 볼 수 있다.

 

https://youtu.be/8_RRZcqBEAc

 

질점이 겨우 3개밖에 없으며 만유인력이라는 서로 당기는 힘만 작용할 뿐인데 어떻게 이런 복잡한 운동을 할 수 있는지 신기하다.

 

 

그러면 삼체문제의 운동 방정식을 세워 보도록 하자.

그림과 같이 질량이 \(m_1\)과 \(m_2\), \(m_3\)인 세 질점이 각각 일정 거리만큼 서로 떨어져 있고, 세 질점 간에는 오직 만유인력만 작용한다고 가정한다.

 

 

그림에서 \(\{i\}\)는 관성좌표계, \(\vec{r}_1\)은 관성좌표계의 원점에서 질점 \(m_1\)까지의 위치벡터, \(\vec{r}_2\)는 질점 \(m_2\)까지의 위치벡터, \(\vec{r}_3\)는 질점 \(m_3\)까지의 위치벡터이며, \(\vec{r}_{12}\)는 질점 \(m_1\)에서 \(m_2\)까지의 위치벡터, \(\vec{r}_{13}\)는 질점 \(m_1\)에서 \(m_3\)까지의 위치벡터, \(\vec{r}_{23}\)는 질점 \(m_2\)에서 \(m_3\)까지의 위치벡터이다.

그러면 만유인력의 법칙에 의하여 질점 \(m_1\)에는 질점 \(m_2\)방향과 질점 \(m_3\)방향으로 힘이 작용하므로 질점 \(m_1\)의 운동방정식은 뉴턴의 제2법칙에 의해서 다음과 같이 주어진다.

 

\[ G \frac{m_1 m_2}{r_{12}^3} \vec{r}_{12} + G \frac{m_1 m_3}{r_{13}^3} \vec{r}_{13}= m_1 \frac{^i d^2 \vec{r}_1}{dt^2} \tag{1} \]

 

여기서 \(G\)는 만유인력 상수, \(r_{12}\)와 \(r_{13}\)은 각각 위치벡터 \(\vec{r}_{12}\)와 \(\vec{r}_{13}\)의 크기다.

한편 질점 \(m_2\)와 \(m_3\)에도 만유인력이 작용하므로 질점 \(m_2\)와 \(m_3\)의 운동방정식은 각각 다음과 같이 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & -G \frac{m_1 m_2}{r_{12}^3} \vec{r}_{12} + G \frac{m_2 m_3}{r_{23}^3} \vec{r}_{23}= m_2 \frac{^i d^2 \vec{r}_2}{dt^2} \tag{2} \\ \\ & -G \frac{m_1 m_3}{r_{13}^3} \vec{r}_{13} - G \frac{m_2 m_3}{r_{23}^3} \vec{r}_{23}= m_3 \frac{^i d^2 \vec{r}_3}{dt^2} \tag{3} \end{align} \]

수식에 있는 음(\(-\))의 부호는 질점에 작용하는 힘이 위치벡터와 반대방향으로 작용한다는 것을 의미한다.

이제, 세 질점의 질량 중심점의 움직임을 살펴보기 위하여 식 (1), (2), (3)을 더해 보도록 한다.

 

\[ 0= m_1 \frac{^i d^2 \vec{r}_1}{dt^2} + m_2 \frac{^i d^2 \vec{r}_2}{dt^2} + m_3 \frac{^i d^2 \vec{r}_3}{dt^2} \tag{4} \]

 

세 질점의 질량 중심점은 다음 식과 같이 벡터 \(\vec{r}_c\)가 가리키는 점으로 배리센터(barycenter)라고도 한다.

 

\[ \vec{r}_c= \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + m_3 \vec{r}_3 }{m_1+m_2+m_3} \tag{5} \]

 

식 (4)와 (5)를 이용하면 질량 중심점의 가속도는 다음과 같이 0이 된다는 것을 알 수 있다.

 

\[ \frac{^i d^2 \vec{r}_c}{dt^2}= \frac{^i d^2}{dt^2} \left( \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + m_3 \vec{r}_3 }{m_1+m_2+m_3} \right) = 0 \tag{6} \]

 

세 질점의 질량 중심점은 관성좌표계에서 가속도가 0이므로 임의의 위치에 있던 관성좌표계의 원점을 질량 중심점에 위치시킬 수 있다. 물론 질량 중심점은 절대 정지하고 있는 관성좌표계에서 일정한 속도로 움직일 수 있다.

 

 

삼체문제의 운동 방정식 (1), (2), (3)은 세 질점의 초기 위치벡터와 속도벡터만 주어지면 수치적으로 풀 수 있다. 초기조건이 어떻게 주어지느냐에 따라 세 질점은 단순한 운동부터 매우 복잡한 운동에 이르기까지 무수히 많은 궤도 모양을 보이게 된다.

우리가 삼체문제에 관심을 갖는 이유는 지구와 달 그리고 우주선의 운동이 엄밀히 말해서 이체문제가 아니기 때문이다. 또한 지구와 태양 주위의 다른 행성들의 움직임도 마찬가지다.

사실 삼체문제를 넘어서 n체문제(n-body problem)라고 볼 수 있지만, 실용적인 면에서 본다면 n체문제도 삼체문제와 삼체문제를 서로 연결한 삼체연결 근사법(patched three-body approximation) 문제로 단순화시키는 것이 유리하다.

이 경우에도 삼체문제 자체가 매우 복잡하기 때문에 일반적인 삼체문제를 특별한 제한조건을 갖는 원궤도제한삼체문제(CR3BP, circular restricted three-body problem)로 더욱 단순화시킨다.