기본 궤도 미분 방정식 - 각운동량 보존과 궤도면

이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다.

 

$$\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+\frac{\mu }{r^3}\overrightarrow{r}=0$$

 

여기서 $\mu =GM$은 중력 파라미터, $\overrightarrow{r}$은 관성 좌표계 $\{i\}$의 원점에서 질점 $m$까지의 위치 벡터, $r$은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다.

 

 

위 식으로 어떤 것을 알 수 있을까.

 

 

먼저 3차원 공간상에 있는 질점 $m$은 특정 평면내에서만 운동한다는 것을 알 수 있다. 이 평면을 궤도면(orbital plane)이라고 한다. 질점 $M$을 태양, 질점 $m$을 지구로 본다면 지구의 공전면을 황도면이라고 하는데, 지구는 태양 주위를 돌지만 황도면을 벗어나지는 못한다. 질점 $M$을 지구, 질점 $m$을 인공위성으로 본다면 인공위성은 지구 주위를 돌지만 정해진 공전면을 벗어나지는 못한다. 이 사실을 어떻게 알 수 있을까.

질점 $M$에 의해 질점 $m$에 작용하는 만유인력이 항상 질점 $M$의 중심 방향으로만 작용하기 떄문에 질점 $m$의 각운동량 (angular momentum)이 보존될 것으로 예상할 수 있다. 궤도 미분 방정식을 이용하여 질점 $m$의 운동 궤도상에서 실제로 각운동량이 보존되는지를 증명해 보도록 하자.

우선 방정식의 양변과 위치 벡터와의 벡터곱(cross product)을 계산하기로 한다. 그러면,

 

$$\overrightarrow{r}\times (\frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}+\frac{\mu }{r^3}\overrightarrow{r})=\overrightarrow{r}\times 0$$

 

이 된다. 위 식에서 $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{r}=0$ 이므로 좌변을 정리하면,

 

$$\overrightarrow{r}\times \frac{{}^i{d}^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}=\frac{{}^{i}d}{dt}(\overrightarrow{r}\times \frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt})=0$$

 

이 되며, 속도 벡터는 $\overrightarrow{v}=\frac{{}^{i}d\overrightarrow{r}}{dt}$이므로 양변을 적분하면

 

$$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{h}=constant$$

 

가 된다. 여기서 단위 질량당 각운동량 벡터인 $\overrightarrow{h}$가 일정하기 때문에 질점 $m$의 모든 궤도상에서 각운동량 벡터가 보존됨을 알 수 있다. 각운동량 벡터는 벡터이므로 크기 뿐만 아니라 방향도 항상 일정하게 유지된다.

 

 

위 식에 의하면, 각운동량 벡터의 방향은 위치 벡터 $\overrightarrow{r}$과 속도 벡터 $\overrightarrow{v}$에 각각 직각인 방향이며 그 방향은 항상 일정하다는 아주 중요한 의미를 내포하고 있다. 따라서 위치 벡터와 속도 벡터가 만드는 평면은 각운동량 벡터와 항상 직각이며, 그 평면은 관성좌표계에 대해서 항상 일정하게 유지된다는 것을 알 수 있다.

질점 $m$의 위치 벡터와 속도 벡터가 만드는 평면을 '궤도면 (orbital plane)' 이라고 부른다. 궤도면은 각운동량 벡터와 직각이며, 궤도면에는 질점 $m$의 위치 벡터와 속도 벡터가 항상 포함돼 있어야 하므로 질점 $m$은 궤도면 밖으로 이탈할 수 없고 궤도면 내에서만 운동할 수 있다.