two-body problem12 섭동력을 받는 램버트 문제의 보정 해 램버트 문제의 해(https://pasus.tistory.com/316)는 두 위치 \(\mathbf{r}_1\) 과 \(\mathbf{r}_2\) 사이를 비행하는 데 걸리는 시간 \(\Delta t\) 가 주어졌을 때, 두 위치를 연결하는 이체문제 (two-body problem) 궤적(trajectory)을 계산한다. 하지만 램버트 문제에서 고려하지 않았던 섭동력(perturbation)으로 인하여 궤적이 목표로 한 위치 \(\mathbf{r}_2\) 에 도달하지 못할 때는 어떻게 해야 할까. 일반적인 섭동력 (J2 섭동력, 태양복사압력, 항력, 달 또는 태양 등의 제3의 중력 등)의 경우 이러한 오차 거리(miss distance)가 크지 않기 때문에, 출발 위치 \(\mathbf{r}_1\) 에서.. 2024. 4. 12. 램버트 문제 (Lambert’s problem)의 해 램버트 문제(Lambert's problem)는 이름에서 알 수 있듯이 18세기 수학자 Johann Heinrich Lambert에 의해 처음 제기된 문제다. 그는 이 문제를 해결하기 위해 램버트의 정리(https://pasus.tistory.com/315)를 고안하였다. 참고로 램버트 정리의 증명은 라그랑지(Lagrange)가 하였고 램버트 문제의 해를 처음으로 구한 사람은 가우스(Gauss)였다. 램버트 문제는 기본적으로 두 지점 사이를 비행하는 데 걸리는 시간이 주어졌을 때, 두 지점 사이를 연결하는 궤도를 찾는 것이다. 수학적으로 램버트 문제는 이체문제(two-body problem)에서 유도된 기본 궤도 미분 방정식에 대한 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary valu.. 2023. 12. 10. 궤도 에너지와 속도 운동에너지(kinetic energy)와 위치에너지(potential energy)의 합이 기계적인 에너지 \(\mathcal{E}\) 이며, 이 에너지는 운동 궤도상에서 일정하게 보존된다. \[ \frac{v^2}{2}- \frac{\mu }{r} = \mathcal{E} = \mbox{constant} \tag{1} \] 여기서 \(\frac{v^2}{2} \) 은 단위질량당 운동에너지, \(-\frac{\mu}{r}\) 는 단위질량당 위치에너지이다. 이제 이체문제(two-body problem)에서 질점 \(M\) 을 지구로, 질점 \(m\) 을 우주비행체로 보고 논의를 진행하자. 궤도의 에너지 \(\mathcal{E}\) 는 궤도상에서 모두 동일하므로 근지점(perigee)이나 원지점(apogee.. 2021. 12. 14. 케플러(Kepler) 법칙의 증명 케플러(Kepler)의 세가지 법칙은 이체문제(two-body problem) 가정 하에 뉴턴의 제2법칙과 만유인력의 법칙을 이용하여 증명할 수 있다. 케플러의 법칙은 주로 화성을 관찰하여 얻은 경험적인 법칙이지만 지구를 비롯한 모든 행성뿐만 아니라 우주비행체에도 적용된다. 케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다. 이체문제 가정 하에 질점 \(m\) 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 \(m\) 을 행성, 질점 \(M\) 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다. 케플러의 제2법칙은 질점 \(M\) 과 질점 \(m\) (태양과 행성의 중심)을 연결한 선은 동일한 시간동안 동일한 면적을.. 2021. 12. 13. 이체문제에서 궤도의 모양 이체문제(two-body problem) 가정하에서 다음 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^i d^2 \vec{r} }{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=GM\) 은 중력 파라미터, \(\vec{r}\) 은 관성 좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질점 \(m \ll M\) 까지의 위치벡터, \(r\) 은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 그리고 기본 방정식으로부터 다음과 같이 궤적 방정식(trajectory equation)을 유도하였다. \[ r= \frac{p}{1+e \cos \theta } \tag{2} \] 여기서 \(p\) 는 통반경 (semi-latus rectum), \(e\) 는 이심율 (e.. 2021. 12. 13. 삼체문제 (Three-Body Problem) 이체문제(two-body problem)에서는 전 우주에 질점(point mass)이 딱 2개 밖에 없으며 두 질점 사이에는 만유인력만 작용한다는 가정하에서 두 질점의 운동에 관한 문제를 다루었다. 이체문제는 해석적인 해가 존재했으며 두 질점의 절대적인 또는 상대적인 궤도의 모양은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 중의 하나였다. 삼체문제(three-body problem)는 이체문제에 질점 하나를 추가한 것이다. 전 우주에 질점이 3개밖에 없으며 세 질점 사이에 만유인력만 작용한다는 가정하에서 세 질점의 운동을 다루는 문제다. 삼체문제는 질점 하나를 더 추가했을 뿐이지만 이체문제와는 확연히 다른 매우 복잡한 운동의 모습을 보여준다. 우선 삼체문제는 해석적인 해가 없다. 수치적으로 운동 방정식을 풀어야 한다... 2021. 4. 7. 기본 궤도 미분 방정식 - 궤적 방정식 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 알 수 있는 것에는 또 무엇이 있을까. 궤도의 모양을 알 수 있다. 궤도 미분 방정식에 의하면 궤도의 모양은 4가지밖에 없다. 원궤도, 타원궤도, 포물선궤도, 쌍곡선궤도가 그것이다. 어떻게 궤도의 모양을 알 수 있는지 살펴보도록 하자. 사실 궤도 미분 방정식을 풀면 질점 \(m\)의 운동 궤도 모양을 알 수 있다. 위 식은.. 2021. 3. 1. 기본 궤도 미분 방정식 - 궤도 에너지 보존 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 어떤 것을 알 수 있을까. 만유인력은 보존력(conservative force)이므로 만유인력 이외의 다른 힘이 존재하지 않는다는 가정 하에서 질점 \(m\)의 기계적인 에너지(mechanical energy)는 보존될 것으로 예상할 수 있다. 궤도 미분 방정식을 이용하여 질점 \(m\)의 운동 궤도상에서 실제로 기계적인 .. 2021. 2. 25. 기본 궤도 미분 방정식 - 각운동량 보존과 궤도면 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2\vec{r}}{dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 어떤 것을 알 수 있을까. 먼저 3차원 공간상에 있는 질점 \(m\)은 특정 평면내에서만 운동한다는 것을 알 수 있다. 이 평면을 궤도면(orbital plane)이라고 한다. 질점 \(M\)을 태양, 질점 \(m\)을 지구로 본다면 지구의 공전면을 황도면이라고 하는데, 지구는 태양 주위를 돌지만 황도면을 벗어나지는 못한다... 2021. 2. 24. 더 단순화된 이체문제 이체문제의 운동 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{dt^2 } + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=G(M+m)\)이다. 이 식은 질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대적인 운동을 표현한 식이다. 두 질점의 질량 중심점은 벡터 \(\vec{r}_c\)가 가리키는 점으로 다음 식으로 주어진다. \[ \vec{r}_c = \frac{ M\vec{r}_M +m\vec{r}_m }{ M+m } \tag{2} \] 이제 이체문제를 더 단순화시키고자 한다. 식 (1)에서 한 질점의 질량이 다른 질점의 질량보다도 압도적으로 크다고 가정한다. \[ M≫m \tag{3} \] 그러면 \(M+m \approx .. 2021. 1. 12. 이전 1 2 다음
