LTI13 [Continuous-Time] 관측가능성과 제어가능성의 관계 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align}\] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력, \(\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 는 출력이다. 주요 제어가능성(controllability) 정리의 의하면 시스템 \((A, B)\) 가 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 제어가능성 행렬 \(Q_c\) 의 랭크(rank)가 \(n\) .. 2024. 8. 1. [Continuous-Time] 관측가능성 (Observability) 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \] 여기서 \( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 는 상태변수, \( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p \) 는 제어입력, \( \mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q \) 는 제어입력이다. 만약 미지의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)\) 에 대해 시간 범위 \(t \in [0, \ t_1]\) 에서의 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 와 출력 \(.. 2024. 7. 31. [Continuous-Time] 최소에너지 제어와 그래미안 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}} =A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 방정식 (1)의 해는 다음과 같다. \[ \mathbf{x}(t)=e^{At} \mathbf{x}(0)+ \int_0^t e^{A(t-\tau)} B \mathbf{u}(\tau) \ d \tau \tag{2} \] 이 시스템이 제어가능(controllable)하다면 유한 시간 \(t_1 \lt \infty\) 안에 임의의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)= \mathbf{x}.. 2024. 7. 29. [Continuous-Time] 제어가능성 (Controllability) 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} =A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \end{align} \] 여기서 \( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 는 상태변수, \( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p \) 는 제어입력이다. 만약 유한 시간 \( t_1 \lt \infty \) 안에 임의의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\) 에서 임의의 목표 상태(target state) \( \mathbf{x}(t_1 )=\mathbf{x}_1\) 으로 시스템의 상태를 움직이도록 하는 제어입력 \(\mathbf{u}(t), \ t \in .. 2024. 7. 16. [Continuous-Time] LTI 시스템과 인과 시스템 LTI시스템의 출력은 다음과 같이 입력과 임펄스 반응의 컨볼루션으로 주어진다. \[ y(t)= \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \] 여기서 \(h(t-\tau)\) 는 시간 \(\tau\) 에서 시스템에 임펄스를 입력으로 가했을 때 시간 \(t\) 에서의 출력이다. 그런데 여기서 \( t \lt \tau\) 일 때 \(h(t-\tau)\) 의 값이 \(0\) 이 아니라면 조금 이상한 일이 벌어진다. 임펄스를 입력으로 가하기 이전에 그 결과인 임펄스 반응이 시간적으로 먼저 나오는 것으로 해석되기 때문이다. 이것은 인과 법칙에 위배된다. 원인이 앞서고 결과가 뒤따르는게 순리적으로 맞기 때문이다. 원인이 결과에 앞서는 시스템을 인과(causal) 시스템.. 2022. 9. 13. [Continuous-Time] LTI 시스템과 컨볼루션 입력과 출력의 관계식으로 표현하는 방법을 시스템의 외부적 표현 방법이라고도 하는데 다음과 같이 연산자(operator)를 이용하여 입출력 관계식을 함수로 나타낸다. \[ \mathbf{y}(t)= \mathcal{F} \{ \mathbf{u}(t), t\} \] 여기서 \(t\) 는 시간, \(\mathbf{u}(t)\) 는 입력, \(\mathbf{y}(t)\) 는 출력이다. 시불변 시스템의 경우 입력을 가한 싯점에 관계없이 출력이 동일해야 하므로 입출력 관계식은 다음과 같이 된다. \[ \mathbf{y}(t)= \mathcal{F} \{ \mathbf{u}(t) \} \] 한편 시불변이면서 동시에 선형인 경우에는 중첩의 원리가 적용되므로 시스템은 다음과 같은 특성을 가져야 한다. \[ \begin{.. 2022. 9. 13. [Continuous-Time] LTI 시스템 선형 시스템에 이어서 이번에는 시불변(time-invariant) 시스템이 무엇인지 알아보자. 시불변 시스템은 초기값 \(\mathbf{x}(0 )\) 을 시간 \(\tau\) 만큼 늦추고 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 도 \(\tau\) 만큼 늦춰서 똑같은 형태로 시스템에 인가했을 때, 출력 \( \mathbf{y}(t)\) 도 \(\tau\) 만큼 늦춰진 채 똑같은 형태로 나오는 시스템이다. 즉 시스템의 초기값과 입력의 시점 따라 시스템의 출력이 바뀌지 않는 시스템을 말한다. 예를 들어서 '어제' A라는 초기값과 패턴을 갖는 신호를 시스템에 입력으로 주었더니 B라는 출력 신호가 나왔다고 했을 때, '오늘' 동일한 A라는 초기값과 입력 신호를 시스템에 가했더니 어제와 동일한 B라는 출력 신호가 .. 2022. 9. 13. 정정상태 응답과 과도 응답 영어로 steady-state response를 정정상태 응답, transient response를 과도 응답이라고 번역한다. 정정상태는 시스템의 출력이 안정되어서 시간이 흘러도 같은 값을 유지하거나 같은 패턴의 출력이 나오는 상태를 말한다. 과도 응답이란 출력이 \(0\)부터 시작하여 정정상태 응답으로 가는 동안의 과도기 응답을 말한다. 영어를 한자로 번역하고 표기는 한글로만 하기 때문에 오해하기 쉬운 용어가 됐다. 정정 행렬이라는 용어도 있는데 이 때 '정정' 은 영어로 positive-definite이다. '양의 값으로 규정된' 이라는 뜻이다. 아무튼 둘 다 정정이라고 번역한다. ‘과도’는 일상 용어로는 과일 깍는 칼을 말한다. 응답은 response를 번역한 것인데 '반응' 이라고 하기도 한다. .. 2021. 2. 5. [CNN] 2D 컨볼루션 독립변수가 1개인 함수로 표현되는 신호 \( x[n] \)을 1차원 신호(one-dimensional signal)라고 한다. 여기서 \( n \)은 인덱스로서 정수 값을 갖는다. 이 인덱스는 보통 시간스텝(time step)을 나타낸다. 1차원 신호와 관련된 컨볼루션을 1D 컨볼루션이라고 하거나 그냥 컨볼루션이라고 한다. 독립변수가 2개인 함수로 표현되는 신호 \( x[m,n] \)을 2차원 신호라고 한다. 2차원 신호에서 인덱스는 주로 공간상의 위치를 나타내는 배열 또는 순서를 뜻한다. 2차원 신호는 행렬로 나타내며 \( m \)은 행, \( n \)은 열을 나타낸다. 대표적인 2차원 신호로는 이미지(image) 신호가 있다. 2차원 신호와 관련된 컨볼루션을 2D 컨볼루션이라고 한다. 지금부.. 2020. 7. 28. [CNN] 컨볼루션 공식대로 계산하기 신호처리 분야에서는 LTI 시스템을 필터(filter)라고 한다. LTI 시스템의 임펄스 반응은 시스템 그 자체라고 했으므로 필터를 설계한다는 것은 곧 LTI 시스템의 임펄스 반응 \( h[n] \)을 결정하는 것과 같다. LTI 시스템의 출력 \( y[n] \)은 시스템의 임펄스 반응 \( h[n] \)과 입력 \( x[n] \)의 컨볼루션으로 주어지므로, \[ \begin{align} y[n] &= h[n]*x[n] \\ \\ &=\sum_{k=-\infty}^\infty h[n-k] x[k] \end{align} \] 필터 또는 임펄스 반응은 어떤 입력에 대해서 원하는 출력이 나오도록 설계되어야 한다. 임펄스 반응 \( h[n] \)의 길이가 무한대이면 무한임펄스반응 (IIR, infinite.. 2020. 7. 25. 이전 1 2 다음
