[Continuous-Time] LTI 시스템과 컨볼루션

입력과 출력의 관계식으로 표현하는 방법을 시스템의 외부적 표현 방법이라고도 하는데 다음과 같이 연산자(operator)를 이용하여 입출력 관계식을 함수로 나타낸다.

 

\[ \mathbf{y}(t)= \mathcal{F} \{ \mathbf{u}(t), t\} \]

 

여기서 \(t\) 는 시간, \(\mathbf{u}(t)\) 는 입력, \(\mathbf{y}(t)\) 는 출력이다.

 

 

시불변 시스템의 경우 입력을 가한 싯점에 관계없이 출력이 동일해야 하므로 입출력 관계식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \mathbf{y}(t)= \mathcal{F} \{ \mathbf{u}(t) \} \]

 

한편 시불변이면서 동시에 선형인 경우에는 중첩의 원리가 적용되므로 시스템은 다음과 같은 특성을 가져야 한다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{y}(t) &= \mathcal{F} \{\alpha_1 \mathbf{u}_1 (t)+ \alpha_2 \mathbf{u}_2 (t)\} \\ \\ &= \alpha_1 \mathcal{F} \{\mathbf{u}_1 (t)\}+ \alpha_2 \mathbfcal{F}\{ \mathbf{u}_2 (t)\} \end{align} \]

 

여기서 \(\alpha_1\) 과 \(\alpha_2\) 는 임의의 상수다.

이제 입력이 1개, 출력이 1개 (Single Input Single Output, 또는 SISO라고 한다)인 LTI 시스템에 임의의 입력 \(u(t)\) 를 가했을 때 출력 \(y(t)\) 가 어떻게 계산되는지 알아보자. 그 전에 먼저 특별한 입력 신호인 임펄스(impulse) 또는 디랙 델타(Dirac delta) 함수에 대해서 알아본다.

디랙 델타 함수 \(\delta(t)\) 는 다음과 같은 두 가지 성질을 만족하는 함수로 정의된다.

 

\[ \begin{align} & \delta(t)= \begin{cases} \infty, & \mbox{ } t=0 \\ 0, & \mbox{ } t \ne 0 \end{cases} \\ \\ & \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \ dt = 1 \end{align} \]

 

디랙 델타 함수는 \(t=0\) 에서만 무한대의 크기를 갖고 그 외에는 모두 \(0\) 의 값을 갖는다. 하지만 함수의 면적은 \(1\) 로 고정되어 있다. 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

임펄스 함수를 오른쪽으로 \(\tau\) 만큼 시프트(shift)시키면 \(\delta(t-\tau)\) 이다. 임펄스 함수를 왼쪽으로 \(\tau\) 만큼 시프트 시키면 \(\delta (t+\tau)\) 이다. 아래 다음의 왼쪽은 \(\delta (t-\tau)\) 를 오른쪽은 \(\delta (t+\tau)\) 를 그린 것이다.

 

 

그러면 임의의 입력 신호 \(u(t)\) 는 임펄스 함수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ u(t)= \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \delta(t-\tau) \ d\tau \]

 

이제 임펄스를 LTI 시스템의 입력으로 가해보자. 이 때의 출력을 임펄스 반응이라고 하며 기호로 \(h(t)\) 로 쓴다.

 

 

수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ h(t)= \mathcal{F} \{ \delta (t) \} \]

 

만약 시스템이 시불변이라면 시프트된 임펄스 반응은 다음과 같이 된다.

 

\[ h(t-\tau)= \mathcal{F} \{ \delta (t-\tau) \} \]

 

임의의 입력 신호 \(u(t)\) 를 임펄스 신호를 이용한 수식으로 표현할 수 있으므로, LTI 시스템에 임의의 입력을 가했을 때 출력은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} y(t) &= \mathcal{F} \{ u(t) \} \\ \\ &= \mathcal{F} \{ \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \delta(t-\tau) \ d\tau \} \end{align} \]

 

시스템이 선형이므로 중첩의 원리에 의해서 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \mathcal{F} \{ \delta(t-\tau) \} \ d\tau \]

 

시스템이 시불변이므로 임펄스 반응의 정의에 의해서 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \]

 

여기서 컨볼루션(convolution)을 다음과 같이 정의하면,

 

\[ h(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \]

 

LTI 시스템의 출력은 시스템의 임펄스 반응과 입력의 컨볼루션이다.

 

\[ y(t)=h(t)*u(t) \]

 

컨볼루션은 LTI 시스템에서 입력과 출력을 매핑해 준다. 매핑은 시스템의 임펄스 반응을 매개로 한다. 따라서 LTI 시스템의 임펄스 반응에는 시스템의 모든 정보가 담겨져 있다고 할 수 있다. LTI 시스템의 임펄스 반응은 시스템 그 자체다.