[Continuous-Time] LTI 시스템과 컨볼루션

입력과 출력의 관계식으로 표현하는 방법을 시스템의 외부적 표현 방법이라고도 하는데 다음과 같이 연산자(operator)를 이용하여 입출력 관계식을 함수로 나타낸다.

 

$$\mathbf{y}(t)=\mathcal{F}\{\mathbf{u}(t),t\}$$

 

여기서 $t$ 는 시간, $\mathbf{u}(t)$ 는 입력, $\mathbf{y}(t)$ 는 출력이다.

 

 

시불변 시스템의 경우 입력을 가한 싯점에 관계없이 출력이 동일해야 하므로 입출력 관계식은 다음과 같이 된다.

 

$$\mathbf{y}(t)=\mathcal{F}\{\mathbf{u}(t)\}$$

 

한편 시불변이면서 동시에 선형인 경우에는 중첩의 원리가 적용되므로 시스템은 다음과 같은 특성을 가져야 한다.

 

$$\begin{array}{rl}\mathbf{y}(t)& =\mathcal{F}\{{\alpha }_1{\mathbf{u}}_1(t)+{\alpha }_2{\mathbf{u}}_2(t)\}\\ \\ & ={\alpha }_1\mathcal{F}\{{\mathbf{u}}_1(t)\}+{\alpha }_2\mathcal{F}\{{\mathbf{u}}_2(t)\}\end{array}$$

 

여기서 ${\alpha }_1$ 과 ${\alpha }_2$ 는 임의의 상수다.

이제 입력이 1개, 출력이 1개 (Single Input Single Output, 또는 SISO라고 한다)인 LTI 시스템에 임의의 입력 $u(t)$ 를 가했을 때 출력 $y(t)$ 가 어떻게 계산되는지 알아보자. 그 전에 먼저 특별한 입력 신호인 임펄스(impulse) 또는 디랙 델타(Dirac delta) 함수에 대해서 알아본다.

디랙 델타 함수 $\delta (t)$ 는 다음과 같은 두 가지 성질을 만족하는 함수로 정의된다.

 

$$\begin{array}{rl}& \delta (t)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& t=0\\ 0,& t\ne 0\end{array}\\ \\ & {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)dt=1\end{array}$$

 

디랙 델타 함수는 $t=0$ 에서만 무한대의 크기를 갖고 그 외에는 모두 $0$ 의 값을 갖는다. 하지만 함수의 면적은 $1$ 로 고정되어 있다. 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

임펄스 함수를 오른쪽으로 $\tau$ 만큼 시프트(shift)시키면 $\delta (t-\tau )$ 이다. 임펄스 함수를 왼쪽으로 $\tau$ 만큼 시프트 시키면 $\delta (t+\tau )$ 이다. 아래 다음의 왼쪽은 $\delta (t-\tau )$ 를 오른쪽은 $\delta (t+\tau )$ 를 그린 것이다.

 

 

그러면 임의의 입력 신호 $u(t)$ 는 임펄스 함수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$u(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$

 

이제 임펄스를 LTI 시스템의 입력으로 가해보자. 이 때의 출력을 임펄스 반응이라고 하며 기호로 $h(t)$ 로 쓴다.

 

 

수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

$$h(t)=\mathcal{F}\{\delta (t)\}$$

 

만약 시스템이 시불변이라면 시프트된 임펄스 반응은 다음과 같이 된다.

 

$$h(t-\tau )=\mathcal{F}\{\delta (t-\tau )\}$$

 

임의의 입력 신호 $u(t)$ 를 임펄스 신호를 이용한 수식으로 표현할 수 있으므로, LTI 시스템에 임의의 입력을 가했을 때 출력은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}y(t)& =\mathcal{F}\{u(t)\}\\ \\ & =\mathcal{F}\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )\delta (t-\tau )d\tau \}\end{array}$$

 

시스템이 선형이므로 중첩의 원리에 의해서 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )\mathcal{F}\{\delta (t-\tau )\}d\tau$$

 

시스템이 시불변이므로 임펄스 반응의 정의에 의해서 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

 

여기서 컨볼루션(convolution)을 다음과 같이 정의하면,

 

$$h(t)\ast u(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

 

LTI 시스템의 출력은 시스템의 임펄스 반응과 입력의 컨볼루션이다.

 

$$y(t)=h(t)\ast u(t)$$

 

컨볼루션은 LTI 시스템에서 입력과 출력을 매핑해 준다. 매핑은 시스템의 임펄스 반응을 매개로 한다. 따라서 LTI 시스템의 임펄스 반응에는 시스템의 모든 정보가 담겨져 있다고 할 수 있다. LTI 시스템의 임펄스 반응은 시스템 그 자체다.