[Continuous-Time] LTI 시스템

선형 시스템에 이어서 이번에는 시불변(time-invariant) 시스템이 무엇인지 알아보자.

 

 

시불변 시스템은 초기값 \(\mathbf{x}(0 )\) 을 시간 \(\tau\) 만큼 늦추고 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 도 \(\tau\) 만큼 늦춰서 똑같은 형태로 시스템에 인가했을 때, 출력 \( \mathbf{y}(t)\) 도 \(\tau\) 만큼 늦춰진 채 똑같은 형태로 나오는 시스템이다. 즉 시스템의 초기값과 입력의 시점 따라 시스템의 출력이 바뀌지 않는 시스템을 말한다.

예를 들어서 '어제' A라는 초기값과 패턴을 갖는 신호를 시스템에 입력으로 주었더니 B라는 출력 신호가 나왔다고 했을 때, '오늘' 동일한 A라는 초기값과 입력 신호를 시스템에 가했더니 어제와 동일한 B라는 출력 신호가 나왔다면 그 시스템은 시불변 시스템이다. 만약 '어제'와 동일한 초기값과 입력 A에 대해서 '오늘'은 C라는 출력이 나왔다면 시변(time-varying) 시스템이라고 한다. 시불변 시스템을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

          \( \mathbf{x}(0), \ \mathbf{u}(t) \ \ \to \ \ \mathbf{y}(t) \) 일 때,
          \(\mathbf{x}(\tau ), \ \mathbf{u}(t-\tau) \ \ \to \ \ \mathbf{y}(t-\tau) \) 이면,
          시스템은 시불변이다.

시스템이 시불변인지 아닌지는 다음 그림의 방법으로 판별할 수 있다.

 

위 그림의 위 쪽은 시스템에 \(\tau\) 만큼 지연된 입력 \( \mathbf{u}(t-\tau)\) 을 인가한 것이다. 그랬더니 출력으로 \(\mathbf{w}(t)\) 가 나왔다. 아래쪽은 시스템에 원래의 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 를 인가해서 출력이 \(\mathbf{y}(t)\) 가 나왔는데 이 출력을 \(\tau\) 만큼 지연시킨 것이다. 여기서 만약 \(\mathbf{w}(t)= \mathbf{y}(t-\tau)\) 이라면 시스템은 시불변이다.

그럼 다음 시스템이 시불변인지 알아보자.

 

\[ \dot{x}(t)=ax(t)+bu(t), \ \ y(t)=x(t) \]

 

여기서 \(a\) 와 \(b\) 는 상수다. 그림의 방법대로 하면,

 

\[ \begin{align} \dot{w}(t) &= aw(t)+bu(t-\tau) \\ \\ \dot{y}(t-\tau) &= \dot{x}(t-\tau)=ax(t-\tau)+bu(t-\tau) \\ &=ay(t-\tau)+bu(t-\tau) \end{align} \]

 

이므로 \(w(t)=y(t-\tau)\) 이다. 따라서 이 시스템은 시불변이다.

이번에는 다음 시스템이 시불변인지 알아보자.

 

\[ \dot{x}(t)=a(t)x(t)+bu(t), \ \ y(t)=x(t) \]

 

여기서 \(a(t)\) 는 시간의 함수이고 \(b\) 는 상수다. 그림의 방법대로 하면,

 

\[ \begin{align} \dot{w}(t) &= a(t)w(t)+bu(t-\tau) \\ \\ \dot{y}(t-\tau) &= \dot{x}(t-\tau)=a(t-\tau)x(t-\tau)+bu(t-\tau) \\ &=a(t-\tau)y(t-\tau)+bu(t-\tau) \end{align} \]

 

이므로 \(w(t) \ne y(t-\tau)\) 이다. 따라서 이 시스템은 시변이다.

선형이면서 시불변인 시스템을 선형 시불변 시스템, 즉 LTI(linear time-invariant) 시스템이라고 한다.