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유도항법제어/최적제어32

[Continuous-Time] 경로 제약조건이 있는 최적제어 문제 일반적인 최적제어 문제 (https://pasus.tistory.com/231)는 초기 및 최종 상태변수 등식 제약조건과 운동방정식을 만족하면서 목적함수를 최소화하는 제어입력을 결정하는 문제였다.  \[ \begin{align} \min J = \phi ( & \mathbf{x}(t_0 ), \mathbf{x}(t_f ), t_0, t_f ) + \int_{t_0}^{t_f} g(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) \ dt \tag{1} \\ \\ \mbox{ subject to : } \ & \dot{\mathbf{x}} (t)= \mathbf{f}( \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t) \\ \\ & \psi (\mathbf{x}(t_0 ), \mathbf.. 2024. 5. 7.
[Continuous-Time] 무한구간 (Infinite-horizon) LQR 다음과 같은 선형 시스템과 \[ \dot{\mathbf{x}}=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 시간 구간 \([t_0, \ t_f]\) 에서 이차함수로 주어진 목적함수가 있을 때, \[ J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T (t_f ) S_f \mathbf{x}(t_f )+ \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} \left( \mathbf{x}^T Q \mathbf{x}+ \mathbf{u}^T R \mathbf{u} \right) \ dt \tag{2} \] 목적함수를 최소화하는 최종자유상태 LQR (free-final-state linear quadratic regulator) 문제의 해는 다음과 같이 주어진다 (https://pasus.tis.. 2023. 12. 21.
[Continuous-Time] 자유최종상태 (Free-final-state) LQR 다음과 같은 선형 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}=A(t) \mathbf{x}+B(t) \mathbf{u} \tag{1} \] 이 시스템의 초기 시간 \(t_0\) 와 초기 상태변수 \(\mathbf{x}(t_0)\) 는 주어졌다고 가정한다. 또한 최종 시간 \(t_f\) 도 주어졌다고 가정한다. 하지만 최종 상태변수에 관한 제약조건이 없다고 가정한다. 이 시스템의 목적함수도 다음과 같이 고정된 시간 구간 \([t_0, \ t_f]\) 에서 이차함수로 주어졌다고 하자. \[ J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T (t_f ) S_f \mathbf{x}(t_f )+ \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} \left( \mathbf{x}^T Q(t) \mathbf{x.. 2023. 12. 19.
[PSOC-12] 예제 : 램버트 문제 (Lambert’s problem) 램버트 문제(Lambert's problem)는 이체문제(two-body problem)에서 유도된 기본 궤도 미분 방정식에 대한 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary value problem)이다. \[ \begin{align} & \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2 }+ \frac{ \mu}{ (\sqrt{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} })^3} \mathbf{r}=0 \tag{1} \\ \\ & \mathbf{r}(t_0 )= \mathbf{r}_0, \ \ \ \mathbf{r}(t_f )=\mathbf{r}_f, \ \ \ t_0, \ t_f \ \mbox{given} \end{align} \] 여기서 \(\mu\) 는 중력 파라미터, .. 2023. 9. 23.
[PSOC-11] 가우스 유사 스펙트럴 (GPM) 기반 최적제어 가우스 유사 스펙트럴 방법(GPM, Gauss pseudospectral method)에서는 \(N\) 개의 LG(Legendre-Gauss) 포인트를 콜로케이션 포인트로 사용하고, LG 포인트에 \(\tau_0=-1\) 을 포함한 점을 보간점으로 사용한다. 이산화 점은 보간점에 \(\tau_{N+1}=1\) 을 포함한 것이다. 따라서 가우스 유사 스펙트럴 방법은 \(N\) 개의 콜로케이션 포인트, \(N+1\) 개의 보간점와 \(N+2\) 개의 이산화 점을 사용한다. LG 포인트는 \(N\) 차 르장드르 다항식 \(P_N (\tau)\) 의 해로 구성되어 있다. 가우스 유사 스펙트럴 방법에서는 상태변수 \(\mathbf{x}(\tau)\) 를 \( N\) 차 라그랑지 다항식으로 근사화한다. \[ \ma.. 2023. 7. 20.
[PSOC-10] 라다우 유사 스펙트럴 (RPM) 기반 최적제어 라다우 유사 스펙트럴 방법(RPM, Radau pseudospectral method)에서는 \(N\) 개의 LGR(Legendre-Gauss-Radau) 포인트를 콜로케이션 포인트로 사용하고, LGR 포인트에 \(\tau_{N+1}=1\) 점을 포함한 것을 보간점으로 사용한다. LGR 포인트는 \(N\) 차 르장드르(Legendre) 다항식과 \((N-1)\) 차 르장드르 다항식의 합인 \(P_N (\tau)+P_{N-1} (\tau)\) 의 해로 구성되어 있다. 라다우 유사 스펙트럴 방법에서는 상태변수 \(\mathbf{x}(\tau)\) 를 \( N \) 차 라그랑지 다항식으로 근사화한다. \[ \mathbf{x}( \tau ) \approx \mathbf{X} (\tau)= \sum_{i=1}^{.. 2023. 7. 18.
[PSOC-9] 로바토 유사 스펙트럴 (LPM) 기반 최적제어 로바토 유사 스펙트럴 방법(LPM, Lobatto pseudospectral method)에서는 콜로케이션 포인트와 보간점이 동일하다. \(N\) 개의 LGL(Legendre-Gauss-Lobatto) 포인트를 콜로케이션 포인트와 보간점으로 모두 사용한다. LGL 포인트는 \((N-1)\) 차 르장드르(Legendre) 미분 다항식 \(\dot{P}_{N-1} (\tau)\) 의 해와 \(\tau=-1, \ \tau=1\) 로 구성되어 있다. 로바토 유사 스펙트럴 방법에서는 상태변수 \(\mathbf{x}(\tau)\) 를 \((N-1)\)차 라그랑지 다항식으로 근사화한다. \[ \mathbf{x}( \tau ) \approx \mathbf{X} (\tau)= \sum_{i=1}^N \mathbf{X}_.. 2023. 7. 17.
[PSOC-8] 유사 스펙트럴 기반 최적제어 문제 연속시간 최적제어에 사용되는 두 가지 유형의 수치적 방법 중 직접방법(direct method)은 최적제어 문제에서 상태변수와 제어입력을 이산화(discretization)시켜 비선형 프로그래밍 문제(NLP, nonlinear programming problem)로 바꾸는 것이다. 유사 스펙트럴 방법(pseudospectral method)은 지난 10여년 동안 최적제어 분야에서 널리 사용된 직접방법 중의 하나로서 콜로케이션 포인트(collocation point)와 보간점(interpolating point)을 이용하는 것이 핵심이다. 지금까지 살펴본 수학적 배경지식인 라그랑지 보간 다항식, 가우시안 쿼드래처, 유사 스펙트럴 방법 등을 간략히 요약한 다음에 연속시간 최적제어 문제를 비선형 프로그래밍 문.. 2023. 7. 17.
동역학 문제의 최적제어 문제로의 변환 고전 동역학에서 해밀톤의 원리(Hamilton's principle) (https://pasus.tistory.com/155) 에 의하면 고정된 양 끝단을 연결하는 수많은 경로 중에서 실제 경로는 '작용(action)'을 최소화하는 경로다. 여기서 작용이란 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차이를 시간 적분한 것을 의미한다. 이 원리로부터 라그랑지 방정식(Lagrange's equation)이 유도되는데, 여기서는 이를 최적제어 문제를 이용하여 유도해 보도록 하겠다. 먼저 제어 대상 시스템의 운동 방정식을 다음과 같이 표현하자. \[ \frac{d\mathbf{q}}{dt} = \mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{q}\) 는 일반화 좌표(generalized coordinate).. 2023. 6. 4.
[Continuous-Time] LQR 예제 : 비례항법유도 법칙 이전 포스트(https://pasus.tistory.com/259)와 동일한 문제를 풀어본다. 다만 최종시간에서 \(y(t_f )\) 는 주어지지만 \(\theta (t_f )\) 에 관한 제약조건은 없는 경우이다. 편의상 비행체의 선형화된 운동 방정식을 다시 쓴다. \[ \begin{align} & \dot{x} \approx V \tag{1} \\ \\ & \dot{y} \approx V \theta \\ \\ & \dot{\theta}= \frac{a}{V} \end{align} \] 여기서 \(a\) 는 비행체의 가속도로서 제어변수, \(\theta\) 는 x-축과 비행체의 속도벡터 사이의 비행 방향각으로서 매우 작다고 가정한 것이다. 비용함수와 제약조건은 다음과 같다. \[ \begin{alig.. 2023. 4. 23.