유도항법제어/비행제어26 [DI-1] 동적 역변환 (Dynamic Inversion) 전통적으로 비행제어 법칙은 게인 스케줄링(gain scheduling) 기법을 이용하여 설계되었다. 게인 스케줄링은 선형제어 설계 방법을 비선형 시스템에 적용하기 위한 것으로서 제어 게인(gain)을 작동 조건에 따라 다르게 설계하는 기법이다. 게인 스케줄링에서는 다양한 비행조건에서 선형화된 여러 개의 운동 모델에 기반하여 제어 게인을 설계한 후 비행조건에 따라서 제어 게인을 변화시킨다. 이를 이용하면 선형제어 시스템의 작동 영역을 일부로 한정시키지 않고 비행영역(flight envelope) 전체로 확장시킬 수 있다. 게인 스케줄링을 이용한 제어 시스템은 일반적인 제어 시스템과 달리 제어 게인이 비행 조건에 따라 변하기 때문에 설계하는데 시간이 많이 걸리고 반복하는데 비용이 많이 들며 공학적 경험에 크.. 2023. 1. 4. 비선형 시스템과 매니폴드 (Manifold) 시스템이 선형 시불변이면 시스템의 고유값(eigenvalue)을 이용하여 쉽게 안정성을 판별할 수 있었다. 시스템이 비선형일 경우에도 평형상태에 대해서 선형화를 한 후에 평형상태 근방에서 로컬 안정성을 판별할 수 있을 것이다. 다음과 같은 비선형 시스템이 있다고 하자. \[ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}( \mathbf{x}) \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수이다. 또한 \(\mathbf{x}_e\) 를 시스템 (1)의 평형점(equilibrium point)이라고 하자. \[ \mathbf{f}( \mathbf{x}_e )=0 \tag{2} \] 이제 새로운 변수를 \(\mathbf{y}= \mathbf{x}-\.. 2023. 1. 1. 선형 시스템과 부분공간 (Subspace) 다음과 같이 상태변수의 선형 미분 방정식으로 표현되는 운동 방정식이 있다고 하자. \[ \dot{\mathbf{x}}=A \mathbf{x} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 는 상수 행렬이다. 이 시스템의 해는 다음과 같다. \[ \mathbf{x}(t)= e^{At} \mathbf{x}(0) \tag{2} \] 이전 포스트에서는 행렬지수함수(matrix exponential) \(e^{At}\) 의 계산에 대해서 알아보았다 (https://pasus.tistory.com/233). 시스템 (1)의 운동 특성은 행렬 \(A\) 의 고유값과 고유벡터에 따라 달라진다. 먼저 행.. 2022. 12. 27. 행렬지수함수 (Matrix Exponential) 계산 행렬 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 의 행렬지수함수(matrix exponential) \(e^{At}\) 는 다음과 같이 정의된다. \[ e^{At}=I+At+\frac{1}{2} A^2 t^2+\frac{1}{3!} A^3 t^3 + \cdots \tag{1} \] 몇가지 특별한 형식을 갖는 행렬 \(A\) 의 지수함수를 계산해보고, 일반적인 행렬에 대한 계산으로 확장시켜 보도록 한다. 먼저 \(A\) 가 대각행렬일 경우다. \[ A= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{bmatrix} \tag{2} \] 이 때는 \[ A^n= \begin{bmatrix} \la.. 2022. 12. 24. 리야프노프 안정성 (Lyapunov stability) 이론 시불변 시스템 \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 의 안정성에 대한 정의에 이어서 이번에는 시스템의 안정성을 판별할 수 있는 이론에 대해서 알아보겠다. 시스템이 선형 시불변이라면 시스템의 고윳값(eigenvalue)을 이용하여 쉽게 안정성을 판별할 수 있다. 시스템이 비선형일 경우에도 평형상태에 대해서 선형화를 한 후에 평형상태 근방에서 로컬 안정성을 판별할 수 있을 것이다. 이와 같은 안정성 판별 방법을 간접방법(indirect method)이라고 한다. 그러나 선형화를 사용하여 비선형 시스템의 로컬 안정성을 파악할 수 없는 상황이 있을 수 있다. 또한 선형화는 그 속성상 비선형 시스템의 전역(global) 안정성에 대해서는 알려줄 수가 없다. 물론 비선형.. 2022. 9. 30. 리야프노프 안정성 (Lyapunov stability) 개념 수학에서 자율 미분방정식(autonomous differential equation) 또는 자율 시스템은 명시적으로 독립변수의 함수가 아닌 미분방정식 또는 시스템을 말한다. 독립변수가 시간이라면 시불변(time-invariant) 시스템이라고도 한다. 독립변수가 시간인 비선형 비자율 미분방정식은 \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, t)\) 로, 자율 시스템 또는 시불변 시스템은 \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\) 로 표기한다. 어떤 시불변 시스템 \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\) 의 한 평형상태(equilibrium state)를 \(\mathbf{x}_e\) 라고 하자. 평형상.. 2022. 9. 27. [Continuous-Time] LTI 시스템과 인과 시스템 LTI시스템의 출력은 다음과 같이 입력과 임펄스 반응의 컨볼루션으로 주어진다. \[ y(t)= \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) h(t-\tau) \ d\tau \] 여기서 \(h(t-\tau)\) 는 시간 \(\tau\) 에서 시스템에 임펄스를 입력으로 가했을 때 시간 \(t\) 에서의 출력이다. 그런데 여기서 \( t \lt \tau\) 일 때 \(h(t-\tau)\) 의 값이 \(0\) 이 아니라면 조금 이상한 일이 벌어진다. 임펄스를 입력으로 가하기 이전에 그 결과인 임펄스 반응이 시간적으로 먼저 나오는 것으로 해석되기 때문이다. 이것은 인과 법칙에 위배된다. 원인이 앞서고 결과가 뒤따르는게 순리적으로 맞기 때문이다. 원인이 결과에 앞서는 시스템을 인과(causal) 시스템.. 2022. 9. 13. [Continuous-Time] LTI 시스템과 컨볼루션 입력과 출력의 관계식으로 표현하는 방법을 시스템의 외부적 표현 방법이라고도 하는데 다음과 같이 연산자(operator)를 이용하여 입출력 관계식을 함수로 나타낸다. \[ \mathbf{y}(t)= \mathcal{F} \{ \mathbf{u}(t), t\} \] 여기서 \(t\) 는 시간, \(\mathbf{u}(t)\) 는 입력, \(\mathbf{y}(t)\) 는 출력이다. 시불변 시스템의 경우 입력을 가한 싯점에 관계없이 출력이 동일해야 하므로 입출력 관계식은 다음과 같이 된다. \[ \mathbf{y}(t)= \mathcal{F} \{ \mathbf{u}(t) \} \] 한편 시불변이면서 동시에 선형인 경우에는 중첩의 원리가 적용되므로 시스템은 다음과 같은 특성을 가져야 한다. \[ \begin{.. 2022. 9. 13. [Continuous-Time] LTI 시스템 선형 시스템에 이어서 이번에는 시불변(time-invariant) 시스템이 무엇인지 알아보자. 시불변 시스템은 초기값 \(\mathbf{x}(0 )\) 을 시간 \(\tau\) 만큼 늦추고 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 도 \(\tau\) 만큼 늦춰서 똑같은 형태로 시스템에 인가했을 때, 출력 \( \mathbf{y}(t)\) 도 \(\tau\) 만큼 늦춰진 채 똑같은 형태로 나오는 시스템이다. 즉 시스템의 초기값과 입력의 시점 따라 시스템의 출력이 바뀌지 않는 시스템을 말한다. 예를 들어서 '어제' A라는 초기값과 패턴을 갖는 신호를 시스템에 입력으로 주었더니 B라는 출력 신호가 나왔다고 했을 때, '오늘' 동일한 A라는 초기값과 입력 신호를 시스템에 가했더니 어제와 동일한 B라는 출력 신호가 .. 2022. 9. 13. 주파수 응답 주파수 응답(frequency response)은 안정한 LTI(선형 시불변) 시스템에 싸인 또는 코사인 파형(sinusoids) 입력을 가했을 때 나오는 정정상태 응답(steady-state response)이다. 입력 \(u(t)\) 가 시스템에 가해지는 시간이 \(t=0\) 이라면 초기값이 \(0\) 이라는 가정하에서 인과(causal) LTI 시스템의 출력은 다음과 같다. \[ \begin{align} y(t) &= \int_0^t h(t-\tau) u(\tau) \ d\tau \tag{1} \\ \\ &= \int_0^t h(\tau) u(t-\tau) \ d\tau \end{align} \] 여기서 \(h(t)\) 는 LTI 시스템의 임펄스 반응(impulse response)이다. 이제 입력.. 2021. 2. 5. 이전 1 2 3 다음
