더 단순화된 이체문제

 

 

이체문제의 운동 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다.

 

\[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{dt^2 } + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \tag{1} \]

 

여기서 \(\mu=G(M+m)\)이다. 이 식은 질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대적인 운동을 표현한 식이다.

 

 

두 질점의 질량 중심점은 벡터 \(\vec{r}_c\)가 가리키는 점으로 다음 식으로 주어진다.

 

\[ \vec{r}_c = \frac{ M\vec{r}_M +m\vec{r}_m }{ M+m } \tag{2} \]

 

이제 이체문제를 더 단순화시키고자 한다. 식 (1)에서 한 질점의 질량이 다른 질점의 질량보다도 압도적으로 크다고 가정한다.

 

\[ M≫m \tag{3} \]

 

그러면 \(M+m \approx M\)이므로 식 (1)의 중력 파라미터는 \(\mu=GM\)이 된다. 또한 식 (2)에 의해서 \(\vec{r}_c=\vec{r}_M\)이 되어서 질량 중심점은 질점 \(M\)에 위치한다. 따라서 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점을 질점 \(M\)에 위치시킬 수 있고 질점 \(m\)의 운동은 이제 상대적인 운동이 아니라 절대적인 운동으로 생각할 수 있다.

 

 

질점 \(M\)은 관성 좌표계에서 정지해 있으므로 \(M\)의 운동은 고려할 필요가 없다. 따라서 이 경우 이체문제는 이제 관성 좌표계의 원점 방향으로의 힘(중심력이라고 한다)만 받는 질량 \(m\)의 일체문제(one-body problem)로 간주할 수 있다.

 

 

이러한 중심력(central force)을 받는 일체문제는 지구 주위를 도는 인공위성이나 태양 주위를 도는 행성에 적용시킬 수 있다.

지구의 질량은 \(M_{earth}=5.9742 \times 10^{24} \ kg\)이다. \(5\)뒤에 \(0\)이 \(24\)개나 붙는다. 따라서 어떠한 질량의 인공위성에 대해서도 \(M≫m\)이다. 태양의 질량은 \(M_{sun}=1.9891 \times 10^{30} \ kg\)이다. 지구의 질량은 태양 질량의 \(0.0003 \% \)에 불과하다. 따라서 \(M≫m\)이다. 재미삼아 지구와 태양의 질량 중심점이 어디에 있는지 계산해 보자. 태양에서 지구까지의 거리는 \(r=1.496 \times 10^8 \ km\)이다. 태양 중심에서 질량 중심점까지의 거리는 다음 식으로 계산한다.

 

\[ r_M = \frac{m}{M+m} r = 448.7 \ km \]

 

\(448.7 \ km\)로서 태양 중심에서 질량 중심점까지 멀리 떨어져 있는 것처럼 보이지만 태양의 반지름이 \(R_{sun}=695,508 \ km\)임을 고려하면 반지름 대비 \(0.0645 \% \)에 불과한 아주 작은 값이다.

 

 

참고로 태양은 태양계 총 질량의 \(99.8 \% \)를 차지하며 크기는 지구의 \(109\)배나 된다. 다음 그림은 태양계의 행성과 태양과의 크기를 비교한 것이다. 지구는 금성과 크기가 엇비슷하며 화성, 수성보다는 훨씬 크다.

 

 

하지만 목성이나 토성, 그리고 천왕성과 해왕성에 비해서도 매우 작다.

 

 

태양계에서 제일 크다는 행성인 목성도 태양과는 비교가 안된다. 지구는 점으로 보인다.

 

 

태양이 무척 큰 것 같지만 별 중에서는 작은 편이라고 한다. 다음 유튜브 영상은 지금까지 관측된 별의 상대적인 크기를 보여준다. 우주는 정말 광대하다.

 

https://youtu.be/BQUMCN0UqfM

 

지구와 달과의 관계를 살펴보자. 달의 질량은 \(M_{moon}= 7.3483 \times 10^{22} \ kg\)으로서 지구 질량의 \(1.23 \% \)이다. 달의 반지름은 \(R_{moon}=1,734 \ km\)로서 지구 반지름의 약 \(1/4\)에 달한다. 지구에서 달까지의 거리는 \(r=384,400 \ km\)이다. 지구 중심에서 질량 중심점까지의 거리는 \(4,671 \ km\)로서 지구 반지름의 \(73 \%\) 크기다.

 

 

지구와 달의 경우는 \(M≫m\)로 보기 곤란하다. 달이 너무 크다. 원래대로 질량 중심점에 관성 좌표계를 위치시키고 달 뿐만 아니라 지구의 운동도 함께 고려해야 한다. 지구와 달의 궤적을 질량 중심점에서 보면 다음과 같을 것이다.

 

 

물론 지구에서 보면 달과 질량 중심의 운동은 다음과 같이 보인다.

 

 

지구와 달 사이에 탐사선이라도 놓이면 삼체문제(three-body problem)가 된다. 이체문제는 해석적인 해를 구할 수 있으나 삼체문제부터는 난이도가 급격히 상승한다. 허블 망원경을 대체하려는 제임스웹 우주 망원경(James Webb Space Telescope)이 2007년도에 발사한다고 했다가 계속 연기되는 모양인데, 이 망원경의 배치 지점이 삼체문제와 관련 있다. 이에 관한 이야기는 다음에 ...