[Continuous-Time] 선형 시스템

시스템은 여러가지 기준으로 다양하게 분류될 수 있는데, 우선 시스템을 선형 시스템과 비선형 시스템으로 분류할 수 있다.

 

 

선형 시스템(linear system)인지 판별하기 위해서 두 개의 초기값과 입력 및 출력 세트가 있다고 하자. 첫 번째 세트는 임의의 시간 \(t=t_0\)에서 상태변수의 초기값이 \(\mathbf{x}_1 (t_0)\)이고, 시간 영역 \(t \ge t_0\)에서 입력이 \(\mathbf{u}_1 (t)\)일 때 출력이 \(\mathbf{y}_1 (t)\)이고, 두 번째 세트는 상태변수의 초기값이 \(\mathbf{x}_2 (t_0)\)이고 시간 영역 \(t \ge t_0\)에서 입력이 \(\mathbf{u}_2 (t)\)일 때 출력이 \(\mathbf{y}_2 (t)\)이다.

선형 시스템 여부는 다음 두 가지로 판별한다. 우선 상태변수 초기값과 입력의 크기를 \(\alpha\)배 키웠을 때 출력도 \(\alpha\)배가 커지는 지와,

 

 

두 번째는 두 개의 상태변수 초기값 \(\mathbf{x}_1 (t_0)\)와 \(\mathbf{x}_2 (t_0)\), 그리고 입력 \(\mathbf{u}_1 (t)\)와 \(\mathbf{u}_2 (t)\)를 더해서 시스템에 인가했을 때 출력도 각각의 입력에 해당하는 출력이 더해져서 나오는지 확인하는 것이다.

 

 

만약 이 두 가지가 모두 충족되면 그 시스템은 중첩의 원리를 만족한다고 하며 선형 시스템이라고 부른다. 선형 시스템이 아니면 비선형 시스템(nonlinear system)이다.

수식으로 한꺼번에 표현하면 다음과 같다.

 

        초기값이 \( \mathbf{x}(t_0 )= \alpha_1 \mathbf{x}_1 (t_0 )+ \alpha_2 \mathbf{x}_2 (t_0 ) \) 이고,

        시간 영역 \( t \ge t_0 \) 에서 입력이 \( \mathbf{u}(t)=\alpha_1 \mathbf{u}_1 (t)+ \alpha_2 \mathbf{u}_2 (t) \) 일 때,

        출력이 \( \mathbf{y}(t)= \alpha_1 \mathbf{y}_1 (t) + \alpha_2 \mathbf{y}_2 (t) \) 이면,

        시스템은 선형이다.

 

 

정의대로 하면, 다음 시스템은 선형이다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B\mathbf{u}, \ \ \mathbf{x}(t_0 )= \mathbf{x}_0 \\ \\ \mathbf{y} &= C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \]

 

선형 시스템은 중첩의 원리를 만족하기 때문에 몇 가지 입력만으로도 시스템의 모든 동특성을 파악할 수 있다.

선형 시스템에서는 입력의 작은 차이가 예기치 않은 큰 출력의 변화를 초래하지 않는다. 하지만 비선형 시스템에서는 이와 같은 일이 가능하다. 서울에 사는 나비의 작은 날개 짓으로 뉴욕의 폭풍을 만들 수도 있다.

입력이 항상 \(0\)일 때, 즉 시간 영역 \(t \ge t_0\)에서 입력이 \(\mathbf{u}(t)=0\)일 때, 초기값 \(\mathbf{x}(t_0 )\)에 대한 출력 \(\mathbf{y}(t)\)를 제로-입력 반응(zero-input response)이라고 한다. 한편 초기값이 \(0\)일 때, 즉 \(\mathbf{x}(t_0 )=0\) 일 때 시간 영역 \( t \ge t_0\)에서 입력 \(\mathbf{u}(t)\)에 대한 출력 \(\mathbf{y}(t)\)를 제로-상태 반응(zero-state response)이라고 한다.

그러면 선형 시스템의 반응은 항상 제로-입력 반응과 제로-상태 반응의 합으로 표현할 수 있다.

 

        선형 시스템 반응 = 제로-입력 반응 + 제로-상태 반응