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유도항법제어/선형시스템

운동 모드 해석

by 세인트워터멜론 2021. 1. 26.

고유값(eigen value)과 고유벡터(eigen vector)의 개념은 여러 분야에서 사용되고 있다. 운동 모드를 해석할 때도 사용되는데 이에 대해서 알아보자.

 

 

다음과 같이 상태변수의 미분 방정식으로 표현되는 운동 방정식이 있다고 하자.

 

\[ \dot{\mathbf{x}}= A \mathbf{x} \tag{1} \]

 

여기서 \(\mathbf{x}(t)\)는 상태변수로서 성분이 \(n\)개인 벡터다. \(A\)는 성분이 모두 실수 값인 \(n \times n\) 행렬이다. 위 식은 \(n\)개의 스칼라 미분 방정식이 서로 연결된 연립 미분 방정식으로서 외부 입력이 작용하지 않는 다양한 선형 운동 방정식을 표현할 수 있는 범용 식이다. 식 (1)을 상태공간 방정식(state-space equation)이라고 한다.

미분 방정식을 풀어보자. 미분 방정식의 해를 구할 때 우선적으로 할 일은 해의 형태를 정하는 것이다. 미분 방정식을 살펴보면, 어떤 벡터 \(\mathbf{x}\)를 미분하니 원래 벡터에 행렬을 곱한 \(A\mathbf{x}\)와 같다는 것이므로, 벡터 \(\mathbf{x}\)는 미분해도 원래 형태는 변하지 않을 것으로 보인다. 따라서 해는 다음과 같은 형태일 것이다.

 

\[ \mathbf{x}(t)= \mathbf{v} e^{\lambda t}, \ \ \ \mathbf{v} \ne 0 \tag{2} \]

 

여기서 \(\mathbf{v}\)는 상수 벡터이며, \(\lambda\)는 상수 스칼라이다. \(\mathbf{v}=0\)이면 \(\mathbf{x}(t)\)는 항상 \(0\) 이 되므로 \(\mathbf{v} \ne 0\)인 조건이 필요하다. 지수(exponential)함수는 미분해도 지수함수이므로 벡터 \(\mathbf{x}\)를 미분해도 그 형태는 변하지 않는다. 식 (2)를 미분 방정식 (1)에 대입해서 미분 방정식을 만족시키는 \(\mathbf{v}\)와 \(\lambda\)를 구할 수 있으면 식 (2)의 \(\mathbf{x}\)가 미분 방정식 (1)의 해다.

먼저 식 (2)를 미분하면,

 

\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \lambda \mathbf{v} e^{\lambda t} \tag{3} \]

 

이다. 식 (3)과 (2)를 (1)에 대입하면,

 

\[ \lambda \mathbf{v} e^{\lambda t}=A \mathbf{v} e^{\lambda t} \tag{4} \]

 

가 된다. 여기서 \(e^{\lambda t}\)는 \( 0 \)이 될 수 없으므로 식 (4)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \lambda \mathbf{v} =A \mathbf{v}, \ \ \ \mathbf{v} \ne 0 \tag{5} \]

 

식 (5)를 만족하는 \(\mathbf{v}\)와 \(\lambda\)를 구하면 미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 그런데 식 (5)는 바로 행렬 \(A\)의 고유값과 고유벡터를 구하는 문제다.

\(A\)는 \(n \times n\) 행렬이므로 고유값은 중복된 값을 포함하여 \(n\)개가 나온다. 여기서 문제를 간단하게 하기 위해서 고유값은 중복된 값 없이 \(n\)개가 모두 다른 값인 \(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\)인 것으로 가정하겠다. 그러면 \(n\)개의 고유값에 대응하는 서로 다른 \(n\)개의 고유벡터 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n \) 을 구할 수 있다. 따라서 식 (2)로 주어지는 미분 방정식의 해는 다음과 같이 \(n\)개가 나온다.

 

\[ \mathbf{x}(t)= \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t}, \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t}, ..., \mathbf{v}_n e^{\lambda_n t} \tag{6} \]

 

미분 방정식의 일반해(general solution)는 식 (6)으로 주어지는 기본해의 선형 조합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ \mathbf{x}(t)= c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} +c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots + c_n \mathbf{v}_n e^{\lambda_n t} \tag{7} \]

 

여기서 \(c_1, c_2, ..., c_n\)은 미지의 상수이다. \(\mathbf{v}_i e^{\lambda_i t}\) 를 \(i\)번째 운동 모드라고 한다. 운동 모드는 행렬 \(A\)의 고유값과 고유벡터로 구성되어 있다. 어떤 시스템의 운동이 식 (1)로 표현됐다고 하면, 그 시스템의 모든 운동은 운동 모드라고 불리는 기본 운동의 조합으로 표현할 수 있다. 마치 빛의 3원색으로 모든 색을 표현할 수 있는 것처럼 말이다.

 

 

미지의 상수는 각 운동 모드가 전체 운동에서 차지하는 비중을 나타낸다. 이 값이 크면 전체 운동에서 해당 운동 모드가 차지하는 비중이 큰 것이다. 만약 그 값이 0 이라면 해당 운동 모드는 나타나지 않는다.

미지의 상수는 초기값 \(\mathbf{x}(0)\)가 주어지면 풀 수 있다. 초기값과 미지 상수간의 관계식은 다음과 같다.

 

\[ \mathbf{x}(0)= c_1 \mathbf{v}_1 +c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n \tag{8} \]

 

만약 초기값을 첫번째 고유벡터와 동일하게 준다면,

 

\[ \mathbf{x}(0)= \mathbf{v}_1 \]

 

미지 상수는 다음과 같이 된다.

 

\[ c_1=1, \ c_2=c_3= \cdots =c_n=0 \]

 

그러면 이 때의 미분 방정식의 해는

 

\[ \mathbf{x}(t)= \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} \]

 

가 되어 첫번째 운동 모드만 나타난다.

이처럼 시스템의 운동은 초기값에 큰 영향을 받는다. 사람으로 비유하자면 초기값에 해당하는 사주의 영향을 받는 것처럼 말이다.

 

 

 

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