운동 모드 해석

고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)의 개념은 여러 분야에서 사용되고 있다. 운동 모드를 해석할 때도 사용되는데 이에 대해서 알아보자.

 

 

다음과 같이 상태변수의 미분 방정식으로 표현되는 운동 방정식이 있다고 하자.

 

\[ \dot{\mathbf{x}}= A \mathbf{x} \tag{1} \]

 

여기서 \(\mathbf{x}(t)\)는 상태변수로서 성분이 \(n\)개인 벡터다. \(A\)는 성분이 모두 실수 값인 \(n \times n\) 행렬이다. 위 식은 \(n\)개의 스칼라 미분 방정식이 서로 연결된 연립 미분 방정식으로서 외부 입력이 작용하지 않는 다양한 선형 운동 방정식을 표현할 수 있는 범용 식이다. 식 (1)을 상태공간 방정식(state-space equation)이라고 한다.

미분 방정식을 풀어보자. 미분 방정식의 해를 구할 때 우선적으로 할 일은 해의 형태를 정하는 것이다. 미분 방정식을 살펴보면, 어떤 벡터 \(\mathbf{x}\)를 미분하니 원래 벡터에 행렬을 곱한 \(A\mathbf{x}\)와 같다는 것이므로, 벡터 \(\mathbf{x}\)는 미분해도 원래 형태는 변하지 않을 것으로 보인다. 따라서 해는 다음과 같은 형태일 것이다.

 

\[ \mathbf{x}(t)= \mathbf{v} e^{\lambda t}, \ \ \ \mathbf{v} \ne 0 \tag{2} \]

 

여기서 \(\mathbf{v}\)는 상수 벡터이며, \(\lambda\)는 상수 스칼라이다. \(\mathbf{v}=0\)이면 \(\mathbf{x}(t)\)는 항상 \(0\) 이 되므로 \(\mathbf{v} \ne 0\)인 조건이 필요하다. 지수(exponential)함수는 미분해도 지수함수이므로 벡터 \(\mathbf{x}\)를 미분해도 그 형태는 변하지 않는다. 식 (2)를 미분 방정식 (1)에 대입해서 미분 방정식을 만족시키는 \(\mathbf{v}\)와 \(\lambda\)를 구할 수 있으면 식 (2)의 \(\mathbf{x}\)가 미분 방정식 (1)의 해다.

먼저 식 (2)를 미분하면,

 

\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \lambda \mathbf{v} e^{\lambda t} \tag{3} \]

 

이다. 식 (3)과 (2)를 (1)에 대입하면,

 

\[ \lambda \mathbf{v} e^{\lambda t}=A \mathbf{v} e^{\lambda t} \tag{4} \]

 

가 된다. 여기서 \(e^{\lambda t}\)는 \( 0 \)이 될 수 없으므로 식 (4)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \lambda \mathbf{v} =A \mathbf{v}, \ \ \ \mathbf{v} \ne 0 \tag{5} \]

 

식 (5)를 만족하는 \(\mathbf{v}\)와 \(\lambda\)를 구하면 미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 그런데 식 (5)는 바로 행렬 \(A\)의 고유값과 고유벡터를 구하는 문제다.

\(A\)는 \(n \times n\) 행렬이므로 고유값은 중복된 값을 포함하여 \(n\)개가 나온다. 여기서 문제를 간단하게 하기 위해서 고유값은 중복된 값 없이 \(n\)개가 모두 다른 값인 \(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\)인 것으로 가정하겠다. 그러면 \(n\)개의 고유값에 대응하는 서로 다른 \(n\)개의 고유벡터 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n \) 을 구할 수 있다. 따라서 식 (2)로 주어지는 미분 방정식의 해는 다음과 같이 \(n\)개가 나온다.

 

\[ \mathbf{x}(t)= \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t}, \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t}, ..., \mathbf{v}_n e^{\lambda_n t} \tag{6} \]

 

미분 방정식의 일반해(general solution)는 식 (6)으로 주어지는 기본해의 선형 조합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ \mathbf{x}(t)= c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} +c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots + c_n \mathbf{v}_n e^{\lambda_n t} \tag{7} \]

 

여기서 \(c_1, c_2, ..., c_n\)은 미지의 상수이다. \(\mathbf{v}_i e^{\lambda_i t}\) 를 \(i\)번째 운동 모드라고 한다. 운동 모드는 행렬 \(A\)의 고유값과 고유벡터로 구성되어 있다. 어떤 시스템의 운동이 식 (1)로 표현됐다고 하면, 그 시스템의 모든 운동은 운동 모드라고 불리는 기본 운동의 조합으로 표현할 수 있다. 마치 빛의 3원색으로 모든 색을 표현할 수 있는 것처럼 말이다.

 

 

미지의 상수는 각 운동 모드가 전체 운동에서 차지하는 비중을 나타낸다. 이 값이 크면 전체 운동에서 해당 운동 모드가 차지하는 비중이 큰 것이다. 만약 그 값이 0 이라면 해당 운동 모드는 나타나지 않는다.

미지의 상수는 초기값 \(\mathbf{x}(0)\)가 주어지면 풀 수 있다. 초기값과 미지 상수간의 관계식은 다음과 같다.

 

\[ \mathbf{x}(0)= c_1 \mathbf{v}_1 +c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n \tag{8} \]

 

만약 초기값을 첫번째 고유벡터와 동일하게 준다면,

 

\[ \mathbf{x}(0)= \mathbf{v}_1 \]

 

미지 상수는 다음과 같이 된다.

 

\[ c_1=1, \ c_2=c_3= \cdots =c_n=0 \]

 

그러면 이 때의 미분 방정식의 해는

 

\[ \mathbf{x}(t)= \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} \]

 

가 되어 첫번째 운동 모드만 나타난다.

이처럼 시스템의 운동은 초기값에 큰 영향을 받는다. 사람으로 비유하자면 초기값에 해당하는 사주의 영향을 받는 것처럼 말이다.