운동 모드 해석

고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)의 개념은 여러 분야에서 사용되고 있다. 운동 모드를 해석할 때도 사용되는데 이에 대해서 알아보자.

 

 

다음과 같이 상태변수의 미분 방정식으로 표현되는 운동 방정식이 있다고 하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)$는 상태변수로서 성분이 $n$개인 벡터다. $A$는 성분이 모두 실수 값인 $n\times n$ 행렬이다. 위 식은 $n$개의 스칼라 미분 방정식이 서로 연결된 연립 미분 방정식으로서 외부 입력이 작용하지 않는 다양한 선형 운동 방정식을 표현할 수 있는 범용 식이다. 식 (1)을 상태공간 방정식(state-space equation)이라고 한다.

미분 방정식을 풀어보자. 미분 방정식의 해를 구할 때 우선적으로 할 일은 해의 형태를 정하는 것이다. 미분 방정식을 살펴보면, 어떤 벡터 $\mathbf{x}$를 미분하니 원래 벡터에 행렬을 곱한 $A\mathbf{x}$와 같다는 것이므로, 벡터 $\mathbf{x}$는 미분해도 원래 형태는 변하지 않을 것으로 보인다. 따라서 해는 다음과 같은 형태일 것이다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}{e}^{\lambda t},\mathbf{v}\ne 0\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{v}$는 상수 벡터이며, $\lambda$는 상수 스칼라이다. $\mathbf{v}=0$이면 $\mathbf{x}(t)$는 항상 $0$ 이 되므로 $\mathbf{v}\ne 0$인 조건이 필요하다. 지수(exponential)함수는 미분해도 지수함수이므로 벡터 $\mathbf{x}$를 미분해도 그 형태는 변하지 않는다. 식 (2)를 미분 방정식 (1)에 대입해서 미분 방정식을 만족시키는 $\mathbf{v}$와 $\lambda$를 구할 수 있으면 식 (2)의 $\mathbf{x}$가 미분 방정식 (1)의 해다.

먼저 식 (2)를 미분하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \dot{\mathbf{x}}(t)=\lambda \mathbf{v}{e}^{\lambda t}\end{array}$$

 

이다. 식 (3)과 (2)를 (1)에 대입하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \lambda \mathbf{v}{e}^{\lambda t}=A\mathbf{v}{e}^{\lambda t}\end{array}$$

 

가 된다. 여기서 $e^{\lambda t}$는 $0$이 될 수 없으므로 식 (4)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \lambda \mathbf{v}=A\mathbf{v},\mathbf{v}\ne 0\end{array}$$

 

식 (5)를 만족하는 $\mathbf{v}$와 $\lambda$를 구하면 미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 그런데 식 (5)는 바로 행렬 $A$의 고유값과 고유벡터를 구하는 문제다.

$A$는 $n\times n$ 행렬이므로 고유값은 중복된 값을 포함하여 $n$개가 나온다. 여기서 문제를 간단하게 하기 위해서 고유값은 중복된 값 없이 $n$개가 모두 다른 값인 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$인 것으로 가정하겠다. 그러면 $n$개의 고유값에 대응하는 서로 다른 $n$개의 고유벡터 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,...,{\mathbf{v}}_n$ 을 구할 수 있다. 따라서 식 (2)로 주어지는 미분 방정식의 해는 다음과 같이 $n$개가 나온다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \mathbf{x}(t)={\mathbf{v}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t},{\mathbf{v}}_2{e}^{{\lambda }_{2}t},...,{\mathbf{v}}_n{e}^{{\lambda }_{n}t}\end{array}$$

 

미분 방정식의 일반해(general solution)는 식 (6)으로 주어지는 기본해의 선형 조합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathbf{x}(t)=c_1{\mathbf{v}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{\mathbf{v}}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n{e}^{{\lambda }_{n}t}\end{array}$$

 

여기서 $c_1,c_2,...,c_n$은 미지의 상수이다. ${\mathbf{v}}_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$ 를 $i$번째 운동 모드라고 한다. 운동 모드는 행렬 $A$의 고유값과 고유벡터로 구성되어 있다. 어떤 시스템의 운동이 식 (1)로 표현됐다고 하면, 그 시스템의 모든 운동은 운동 모드라고 불리는 기본 운동의 조합으로 표현할 수 있다. 마치 빛의 3원색으로 모든 색을 표현할 수 있는 것처럼 말이다.

 

 

미지의 상수는 각 운동 모드가 전체 운동에서 차지하는 비중을 나타낸다. 이 값이 크면 전체 운동에서 해당 운동 모드가 차지하는 비중이 큰 것이다. 만약 그 값이 0 이라면 해당 운동 모드는 나타나지 않는다.

미지의 상수는 초기값 $\mathbf{x}(0)$가 주어지면 풀 수 있다. 초기값과 미지 상수간의 관계식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathbf{x}(0)=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n\end{array}$$

 

만약 초기값을 첫번째 고유벡터와 동일하게 준다면,

 

$$\mathbf{x}(0)={\mathbf{v}}_1$$

 

미지 상수는 다음과 같이 된다.

 

$$c_1=1,c_2=c_3=\cdots =c_n=0$$

 

그러면 이 때의 미분 방정식의 해는

 

$$\mathbf{x}(t)={\mathbf{v}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}$$

 

가 되어 첫번째 운동 모드만 나타난다.

이처럼 시스템의 운동은 초기값에 큰 영향을 받는다. 사람으로 비유하자면 초기값에 해당하는 사주의 영향을 받는 것처럼 말이다.