고전 궤도요소 (Classical Orbital Elements)

고전 궤도요소 (COE, classical orbital elements)는 우주비행체의 궤도 운동을 기술하기 위해 사용되는 수학적인 방법으로서, 궤도의 크기, 모양, 자세를 정의하기 위한 5개의 파라미터와 궤도상에 우주비행체의 위치를 나타내기 위한 1개의 파라미터로 구성되어 있다. 고전 궤도요소는 궤도 운동을 시각적으로 표현하는데 매우 편리하다.

 

 

아래 그림은 고전 궤도요소를 그림으로 보여주고 있는데, 6개 파라미터의 자세한 정의는 다음과 같다.

 

 

통반경 (semi-latus rectum) 또는 장반경 (semi-major axis):
통반경은 궤도의 주축 (major-axis)에서 궤도까지의 수직거리이다. 통반경은 궤도의 크기를 나타내며 기호로는 \(p\)로 표시한다. 통반경 대신에 장반경 (semi-major axis)이 쓰이기도 한다. 장반경은 궤도의 긴 반지름으로서 원궤도의 반지름에 해당하는 값이다. 기호로는 \(a\) 로 표시한다. 장반경은 포물선궤도에서는 \(a=\infty\) 이다. 궤도의 통반경과 장반경은 \(p=a(1-e^2)\) 의 관계식을 갖는다 (https://pasus.tistory.com/171).

 

 

이심율 (eccentricity):
이심율은 타원궤도나 쌍곡선궤도의 길쭉한 정도를 나타낸다. 이심율이 0에 가까울수록 원궤도에 가까우며 1에 가까울수록 더 납작한 타원모양이 된다. 이심율이 1이면 포물선궤도이고 1보다 크면 쌍곡선궤도이다. 이심율은 \(e\) 로 표시하며 \(e=c/a\) 의 관계가 있다. 여기서 \(c\) 는 초점값이다.

 

 

경사각 (inclination):
경사각은 궤도의 각운동량 벡터 \(\vec{h}\) 와 ECI좌표계의 \(\hat{i}_3\) 축 사이의 각도로서 궤도면(orbital plane)이 적도면(equatorial plane)에 대해서 기울어진 정도를 나타낸다. 경사각은 0도에서 180도의 범위를 가지며, 경사각이 0도인 궤도를 적도궤도(equatorial orbit), 90도인 궤도를 극궤도(polar orbit)라고 부른다. 경사각이 0도에서 90도의 범위를 가지면 우주비행체가 지구자전 방향으로 공전하는 순행(prograde) 궤도를, 경사각이 90도에서 180도의 범위를 가지면 우주비행체가 지구자전 방향과 반대로 공전하는 역행(retrograde) 궤도를 가진다. 경사각은 \(i\) 로 표시한다.

 

 

적경각 (RAAN, right ascension of the ascending node):
RAAN은 ECI좌표계의 \(\hat{i}_1\) 축과 승교선(ascending node) 벡터 \(\vec{n}\) 사이의 각도이다. 승교선 벡터 \(\vec{n}\) 은 적도면과 궤도면의 교차선과 평행하며 방향은 지구중심에서 우주비행체가 지구의 남반구에서 북반구로 올라가면서 만나는 점을 향한다. RAAN은 \(\Omega\) 로 표시한다.

 

 

근점편각 (AOP, argument of perigee):
근점편각는 승교선에서 궤도의 근지점까지의 각도이다. 또는 승교선 벡터 \(\vec{n}\) 과 이심율 벡터(eccentricity vector) \(\vec{e}\) 와의 각도이기도 하다. 이심율 벡터는 크기가 이심율이고 방향은 지구 중심에서 근지점을 향하는 벡터다. 근점편각은 우주비행체의 진행방향으로 측정해야 한다. 근점편각은 \(\omega\) 로 표시한다.

 

 

실제비행각 (true anomaly):
실제비행각은 근지점에서 우주비행체 위치까지의 각도이다. 또는 이심율 벡터 \(\vec{e}\) 와 우주비행체의 위치벡터 \(\vec{r}\) 과의 각도이기도 하다. 실제비행각도 우주비행체의 진행방향으로 측정해야 한다. 실제비행각은 \(\theta\) 로 표시한다.

 

 

 

 

고전 궤도요소는 다음과 같이 표시한다.

 

\[ \mathbf{\alpha} = \begin{bmatrix} a \\ e \\ i \\ \Omega \\ \omega \\ \theta \end{bmatrix} \tag{1} \]

 

여기서 \( (a, \ e, \ i, \ \Omega, \ \omega)\) 는 상수이고 \(\theta(t)\) 는 시간 함수다. 고전 궤도요소 중에서 \(a\) 대신에 \(p\) 가, \(\theta\) 대신에 \(M\) 이 쓰이기도 한다. 여기서 \(M\) 은 평균비행각(mean anomaly)으로서 그 변화율은 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \dot{M}= \sqrt{ \frac{\mu}{a^3}} \tag{2} \]

 

경사각이 0도인 적도궤도에서는 적도면과 궤도면이 일치하게 되므로 RAAN \(\Omega\) 이 정의되지 않는다. 적도궤도에서의 근점편각 \(\omega\) 는 승교선 벡터 대신에 \( \hat{i}_1\) 축으로부터 측정한다.

 

 

원궤도(circular orbit)에서는 근지점이 없으므로 근점편각이 정의되지 않는다. 원궤도에서는 승교선 벡터 \(\vec{n}\) 과 위치벡터 \(\vec{r}\) 사이의 각도로 실제비행각을 정의한다.

 

 

적도궤도이면서 원궤도인 경우는 RAAN과 근점편각이 모두 정의되지 않는다. 이때 실제비행각은 \(\hat{i}_1\) 축과 위치벡터 \(\vec{r}\) 사이의 각으로 정의한다.

 

 

이와 같이 원궤도 또는 적도궤도인 경우에는 고전 궤도요소 중에서 \(\omega, \ \Omega\) 가 정의되지 않기 때문에 수정된 궤도요소를 사용하기도 한다.

근원(near circular) 비적도 궤도의 경우에는 다음과 같이 준 비특이 궤도요소(quasi-nonsingular orbital elements)를 사용한다.

 

\[ \mathbf{\kappa} = \begin{bmatrix} a \\ e_x \\ e_y \\ i \\ \Omega \\ u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ e \cos \omega \\ e \sin⁡ \omega \\ i \\ \Omega \\ \omega+M \end{bmatrix} \tag{3} \]

 

여기서 \((e_x, \ e_y)\) 를 이심율 벡터 \(\vec{e}\) 의 구성 요소, \(u=\omega+M\) 을 mean argument of latitude 라고 한다. 원궤도에서는 \(e=0\) 이므로 \(e_x=e_y=0\) 이 된다.

적도궤도이면서 원궤도를 포함한 일반적인 궤도에서는 다음과 같이 equinoctial 궤도요소를 사용한다.

 

\[ \mathbf{\chi}= \begin{bmatrix} a \\ Q_1 \\ Q_2 \\ P_1 \\ P_2 \\ L \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ e \cos (\omega+\Omega) \\ e \sin (\omega+\Omega) \\ \tan \left( \frac{i}{2} \right) \sin \Omega \\ \tan \left( \frac{i}{2} \right) \cos \Omega \\ \omega+\Omega+M \end{bmatrix} \tag{4} \]

 

적도궤도이면 \(i=0\) 이므로 \(P_1 = P_2 =0\) 이 되고 원궤도이면 \( e=0\) 이므로 \(Q_1=Q_2=0\) 이 된다. 여기서 \(\Omega\) 는 적도면에서 정의되는 값이고, \(\omega\) 와 \(M\) 은 궤도면에서 정의되는 값이라는 점에 주의해야 한다. equinoctial 궤도요소는 쌍곡선궤도에서도 유효하다.

비특이 궤도요소와 equinoctial 궤도요소는 궤도의 섭동 해석(perturbation analysis)에서 유용하게 사용된다.