[B-Plane] 좌표변환

B-평면과 관련하여 3개의 평면을 정의할 수 있다. 목표(target) 행성의 적도면(equatorial plane), 진입 궤도면(orbital plane), 그리고 B-평면(B-plane)이 그것이다. 또한 각 평면에서 각각 행성중심관성좌표계 $\{a\}$, 궤도중심좌표계(perifocal frame) $\{p\}$, 그리고 TRS좌표계 $\{s\}$ 를 정의할 수 있다. 아래 그림에 이 3개의 평면과 좌표계가 나와 있다. 그림에서 $i$ 는 궤도의 경사각, $\overrightarrow{h}$ 는 각운동량 벡터다.

 

 

TRS좌표계 $\{s\}$ 는 행성의 중심에 원점이 있고 점근선벡터 $\hat{S}$ 를 z축, $\hat{T}$ 을 x축, $\hat{R}$ 을 y축으로하는 좌표계다. 관성좌표계 상에서 진입 점근선 벡터의 방향은 다음과 같이 적경(RA, right ascension) ${\alpha }_{\mathrm{\infty }}$ 과 적위 (Dec, declination) ${\delta }_{\mathrm{\infty }}$ 로 나타낼 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& {\alpha }_{\mathrm{\infty }}& ={\tan }^{-1}\frac{S_y}{S_x}\\ {\delta }_{\mathrm{\infty }}& ={\sin }^{-1}{S}_z\end{array}$$

 

여기서 $S_x,S_y,S_z$ 는 $\hat{S}$ 의 관성좌표계 축성분이다.

 

 

이 두 각을 이용하면 관성좌표계에서 TRS좌표계로의 DCM $C_s^a$ 를 다음과 같이 단계적으로 계산할 수 있다. 먼저 관성좌표계의 z축을 중심으로 $-({90}^0-{\alpha }_{\mathrm{\infty }})$ 만큼 회전한 후,

 

 

회전된 좌표계의 x축 (그림에서 ${\hat{a}}_1^{\prime }$)을 중심으로 $-({90}^0-{\delta }_{\mathrm{\infty }})$ 만큼 회전한다.

 

 

그러면 관성좌표계의 z축은 $\hat{S}$ 으로, x축은 $\hat{T}$ 으로, y축은 $\hat{R}$ 로 이동하여 정렬하게 된다. 이를 DCM으로 표현하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& C_s^a& =C(z,-({90}^0-{\alpha }_{\mathrm{\infty }}))C(x,-({90}^0-{\delta }_{\mathrm{\infty }}))\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\sin {\alpha }_{\mathrm{\infty }}& \cos {\alpha }_{\mathrm{\infty }}& 0\\ -\cos {\alpha }_{\mathrm{\infty }}& \sin {\alpha }_{\mathrm{\infty }}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \sin {\delta }_{\mathrm{\infty }}& \cos {\delta }_{\mathrm{\infty }}\\ 0& -\cos {\delta }_{\mathrm{\infty }}& \sin {\delta }_{\mathrm{\infty }}\end{array}\right]\end{array}$$

 

위와 같은 좌표변환에 의하면 $\hat{T}$ 축은 행성의 적도면에도 존재한다.

 

 

궤도중심좌표계 $\{p\}$ 는 행성의 중심에 원점이 있고, 근지점 방향을 x축, 각운동량 벡터를 z축으로 하는 좌표계다.

 

 

정의에 의하면 B-벡터는 궤도면과 B-평면상에 동시에 존재하므로 TRS좌표계와 궤도중심좌표계의 관계식을 계산하기 전에 먼저 TRS좌표계의 z축인 $\hat{S}$ 를 중심으로 $\varphi$ 만큼 회전하여 $\hat{T}$ 축을 B-벡터 뱡향과 일치시키는 좌표변환이 필요하다. 이 좌표계를 임시 좌표계 $\{t\}$ 라고 하면 TRS좌표계에서 임시 좌표계로의 DCM $C_t^s$ 는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& C_t^s==\left[\begin{array}{ccc}\cos \varphi & -\sin \varphi & 0\\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

 

이제 점근선 각 $\beta$ 와 DCM의 정의에 의해서 임시 좌표계에서 궤도중심좌표계로의 DCM을 구하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& C_t^p& =\left[\begin{array}{ccc}\cos ({90}^0-\beta )& -\cos \beta & 0\\ 0& 0& -1\\ \cos \beta & \cos ({90}^0-\beta )& 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\sin \beta & -\cos \beta & 0\\ 0& 0& -1\\ \cos \beta & \sin \beta & 0\end{array}\right]\end{array}$$

 

 

 

식 (2) 와 (3), (4)를 이용하면 최종적으로 행성중심관성좌표계에서 궤도중심좌표계로의 DCM $C_p^a$ 를 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& C_p^a=C_s^a{C}_t^s{C}_p^t\end{array}$$

 

 

 

이제 궤도의 경사각 $i$, $\hat{T}$ 과 $\overrightarrow{B}$ 의 사잇각 $\varphi$, 그리고 $\hat{S}$ 의 적위 ${\delta }_{\mathrm{\infty }}$ 사이의 관계식을 알아보자. 다음 그림에 3개의 평면과 $i,\varphi ,{\delta }_{\mathrm{\infty }}$ 가 도시되어 있다. 매우 복잡하게 보이지만 오른쪽 그림에 나온 3개 각의 정의와 비교해 보면 이해가 갈 것이다.

 

 

구면(sphere) 사인법칙 (https://pasus.tistory.com/319)을 적용하면 3개의 각사이에 어떤 관련이 있는지 식으로 나타낼 수 있다. 구면 사인법칙은 다음과 같이 구면 상에 정의된 각사이에 다음 수식이 성립한다는 법칙이다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}\end{array}$$

 

 

 

아래 그림과 같이 적절하게 구면 삼각형을 선택하고 오른쪽 그림과 비교해보면, $B\to \psi ,C\to {90}^0,b\to {90}^0-(-\varphi ),c={90}^0$ 의 관계가 있다는 것을 알 수 있다.

 

 

이를 식 (6)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}& \frac{\sin ({90}^0-(-\varphi ))}{\sin \psi }=\frac{\sin {90}^0}{\sin {90}^0}\\ \\ \text{(7)}& \to & \cos \varphi =\sin \psi \end{array}$$

 

또 다른 구면 삼각형을 선택한 후, 오른쪽 그림과 비교해보면 이번에는 $B\to \psi ,C\to {90}^0+i,b\to {90}^{0}c={90}^0+{\delta }_{\mathrm{\infty }}$ 의 관계가 있다는 것을 알 수 있다.

 

 

이를 식 (6)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}& \frac{\sin {90}^0}{\sin \psi }=\frac{\sin ({90}^0+{\delta }_{\mathrm{\infty }})}{\sin ({90}^0+i)}\\ \\ \text{(8)}& \to & \frac{1}{\sin \psi }=\frac{\cos {\delta }_{\mathrm{\infty }}}{\cos i}\end{array}$$

 

식 (7)을 (8)에 대입하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \cos (-\varphi )=\frac{\cos i}{\cos {\delta }_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$

 

식 (9)에 의하면 세 각 $i,\varphi ,{\delta }_{\mathrm{\infty }}$ 는 서로 독립적이지 않고 함수 관계에 있다는 것을 알 수 있다.