케플러 문제 (Kepler’s problem) - 1

궤도가 주어졌을 때 우주비행체가 궤도상의 한 지점에서 다른 지점까지 비행하는데 걸리는 비행시간(time of flight)을 함수의 적분 해를 이용하여 계산해 보았다 (https://pasus.tistory.com/307).

하지만 케플러는 미적분이 발명되기 80여년전에 이미 기하학적인 방법을 사용하여 시간 \(t=t_0\) 에서의 실제 비행각(true anomaly) \(\theta_0 = \theta(t_0)\) 와 임의의 실제 비행각 \(\theta(t)\) 가 주어졌을 때 비행시간 \(t-t_0\) 을 계산하였고, 또 역으로 시간 \(t=t_0\) 에서의 실제 비행각 \(\theta_0 \) 와 임의의 비행시간 \(t-t_0\) 가 주어졌을 때 실제 비행각 \(\theta(t)\) 를 구하는 예측문제를 풀었다. 이와 같이 우주비행체의 비행시간과 실제 비행각과의 함수 관계를 다루는 문제를 케플러 문제 (Kepler's problem)라고 한다.

우선 타원궤도에서 케플러 문제를 풀어보고 그 다음 쌍곡선궤도에서도 같은 방법을 적용하여 풀어본다. 케플러 제2법칙인 면적속도 일정의 법칙(https://pasus.tistory.com/172)에 의하면, 다음 그림과 같이 우주비행체가 근지점에서 실제 비행각 \(\theta\) 가 만든 면적 \(A_1\) 만큼 비행하는데 걸리는 시간 \(t\) 는 타원궤도의 전체면적과 주기의 관계식으로 주어진다. 즉,

 

\[ \frac{t}{A_1} = \frac{T}{\pi ab} \tag{1} \]

 

여기서 \(T\) 는 궤도의 주기이며 \(\pi ab\) 는 타원의 면적이다. 따라서 실제 비행각 \(\theta\) 가 만든 면적 \(A_1\) 을 구할 수 있다면, 비행시간은 쉽게 계산될 수 있다.

면적 \(A_1\) 은 다음과 같이 기하학적인 관계에 근거하여 계산할 수 있다. 우선 아래 그림과 같이 타원의 장반경 \(a\) 를 반지름으로 하는 가상의 원궤도를 그린다. 그리고 우주비행체의 위치 \(B\) 와 장축과 만나는 점 \(C\) 를 연결한 선을 연장하여 가상의 원궤도와 만나는 점을 \(B'\) 이라 한다. 이때 가상의 원궤도 중심 \(O\) 에서 \(B'\) 의 각을 이심 비행각 (eccentric anomaly)이라고 하고 \(E\) 라고 표시한다.

 

 

그러면 면적 \(A_1\) 은 다음 식으로 계산된다.

 

\[ A_1=A_2+area[PCB] \tag{2} \]

 

\(area[PCB]\) 는 점 \(PCB\) 로 이루어진 도형의 면적이며 타원과 원과의 관계식에 의하여 다음과 같이 표현된다.

 

\[ area[PCB]=area[PCB '] \frac{b}{a} \tag{3} \]

 

\(area[PCB' ]\) 는 다음과 같이 주어지므로,

 

\[ area[PCB ' ]= \frac{1}{2} a^2 E- \frac{1}{2} a^2 \cos E \sin E \tag{4} \]

 

식(3)과 (4)에 의하여 \(area[PCB]\) 는

 

\[ \begin{align} area[PCB] &= \frac{b}{a} \left( \frac{1}{2} a^2 E- \frac{1}{2} a^2 \cos E \sin E \right) \tag{5} \\ \\ &= \frac{ab}{2} (E- \cos E \sin E ) \end{align} \]

 

으로 계산된다. 면적 \(A_2\) 는 직각 삼각형이므로 다음과 같이 쉽게 면적을 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} A_2 &= \frac{1}{2} (a \cos E-ae) \left(a \sin E \frac{b}{a} \right) \tag{6} \\ \\ &= \frac{ab}{2} (\cos E \sin E- e \sin E ) \end{align} \]

 

식 (5)와 (6)을 식 (2)에 대입하면 면적 \(A_1\) 은

 

\[ A_1= \frac{ab}{2} (E-e \sin E ) \tag{7} \]

 

이므로 식 (7)을 식 (1)에 대입하면 비행시간 \(t\) 를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ t= \sqrt {\frac{a^3}{\mu} } (E-e \sin E ) \tag{8} \]

 

여기서 타원궤도의 평균 비행각(mean anomaly) \(M_e\) 를

 

\[ M_e=E-e \sin E \tag{9} \]

 

로 정의하며 이 식을 케플러 방정식 (Kepler's equation)이라고 부른다.

 

 

평균 비행각을 이용하면 비행시간은

 

\[ t= \sqrt{ \frac{a^3}{\mu} } M_e= \frac{M_e}{n} \tag{10} \]

 

이며 \(n\) 을 평균 비행각속도 (mean motion)라고 정의한다.

 

\[ n= \sqrt{ \frac{\mu}{a^3} }= \frac{2\pi}{T} \tag{11} \]

 

식 (10)의 비행시간은 근지점을 기준으로 한 것이다. 우주비행체가 궤도를 여러 번 회전하는 경우와 근지점이 아닌 지점을 기준으로 할 때는 다음과 같이 비행시간을 구해야 한다.

 

\[ \begin{align} t-t_0 &= \frac{ 2 \pi k+M_e-M_{e0} }{n} \tag{12} \\ \\ & = \sqrt{ \frac{a^3}{\mu} }(2 \pi k+E-e \sin E-E_0+e \sin⁡ E_0 ) \end{align} \]

 

여기서 \(k\) 는 우주비행체가 근지점을 통과한 회수이며, \(t_0\) 와 \(E_0\) 는 우주비행체의 초기 시간과 초기 이심 비행각이다.

식 (12)에서는 우주비행체의 비행시간을 이심 비행각의 함수로 구하였다. 하지만 궤도요소는 실제 비행각의 정보를 주므로 실제 비행각을 이심 비행각으로 변환할 필요가 있다.

다시 위 그림에서 이심 비행각과 실제 비행각과의 관련성을 유도해 내도록 하자. 우선 길이 \(\bar{OC}\) 를 기준으로 하면,

 

\[ \bar{OC}=a \cos E+r \cos \theta \]

 

가 된다. 따라서

 

\[ \begin{align} \cos E &=e+ \frac{r \cos \theta}{a} \tag{13} \\ \\ &= \frac{e+ \cos \theta}{1+e \cos \theta } \end{align} \]

 

이다. 다음으로 길이 \(\bar{B'C}\) 를 기준으로 하면, 다음식이 성립한다.

 

\[ \bar{ B'C } =a \sin⁡ E = \bar{BC} \frac{a}{b}=r \sin \theta \frac{a}{b} \]

 

위 식을 이심 비행각으로 정리하면

 

\[ \begin{align} \sin E &= \frac{r \sin \theta}{b} \tag{14} \\ \\ &= \frac{ \sqrt{1-e^2 } \sin \theta }{ 1+e \cos \theta } \end{align} \]

 

이 된다. 한편 tan 함수의 반각의 공식을 사용하면

 

\[ \begin{align} \tan^2⁡ \frac{E}{2} &= \frac{1-\cos E}{1+\cos E } \\ \\ &= \frac{(1-e)(1-\cos \theta)}{ (1+e)(1+ \cos \theta)} \\ \\ &= \frac{(1-e)}{(1+e) } \tan^2 \frac{\theta}{2} \end{align} \]

 

가 되므로

 

\[ \tan⁡ \frac{E}{2} = \sqrt{ \frac{1-e}{1+e} } \tan \frac{\theta}{2} \tag{15} \]

 

가 됨을 알 수 있다.

식 (9)와 (15)에 의하면 이전 포스트(https://pasus.tistory.com/307)에서 도출했던 타원의 평균 비행각 식 (9)와 완전히 일치함을 알 수 있다.

식 (13), (14), (15)는 실제 비행각 \(\theta\) 를 이심 비행각 \(E\) 로 변환하는 공식이다. 실제 비행각에서 이심 비행각을 계산하거나 또는 이심 비행각에서 실제 비행각을 계산할 때 부호가 문제가 될 수 있는데, 이 경우 평균 비행각, 이심 비행각 및 실제 비행각은 다음 그림과 같이 모두 같은 반구면 (\(0^0 \sim 180^0\) 구역과 \(-180^0 \sim 0^0\) 구역) 상에 존재함에 유의하면 된다.