궤도의 비행각과 비행시간

시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터 및 속도벡터를 고전 궤도요소(COE)로 변환하면 궤도의 크기, 모양, 자세에 대해 알 수 있다 (https://pasus.tistory.com/287). 궤도의 크기, 모양, 자세는 ECI좌표계에서 일정하게 유지되고 6개의 궤도요소 중에서 궤도상의 우주비행체의 위치를 나타내는 실제 비행각(true anomaly) \(\theta\) 만이 시간의 함수이므로, 우주비행체는 마치 우주공간에 있는 미리 정해진 철로를 따라 운행하는 기차와 같다고 볼 수 있다.

 

 

이제 궤도가 주어졌을 때 우주비행체가 궤도상의 한 지점에서 다른 지점까지 비행하는데 걸리는 비행시간(time of flight)을 계산해 보도록 하자.

궤도 상에서 우주비행체의 위치는 실제 비행각으로 나타낼 수 있다. 계산은 각운동량의 크기와 실제비행각의 변화율의 관계식으로부터 출발한다 (https://pasus.tistory.com/288).

 

\[ h=r^2 \frac{d\theta}{dt} \tag{1} \]

 

여기서 \(h\) 는 각운동량의 크기고, \(r\) 은 지구중심에서 우주비행체까지의 거리로서 다음과 같다.

 

\[ r=\frac{ h^2/\mu }{ 1+ e \cos \theta } \tag{2} \]

 

여기서 \(e\) 는 이심율(eccentricity), \(\mu\) 는 중력 파라미터이다. 식 (2)를 (1)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{\mu^2}{h^3} dt= \frac{d\theta}{ (1+e \cos \theta )^2} \tag{3} \]

 

근지점(perigee)에서부터 시간을 측정 한다면, 식 (3)의 적분은 다음과 같다.

 

\[ \frac{\mu^2}{h^3} t= \int_0^{\theta} \frac{d\theta}{ (1+e \cos \theta )^2} \tag{4} \]

 

 

이제 네가지 궤도애 대해서 적분을 풀어보자.

웬궤도는 \(e=0\) 이므로 적분이 아주 간단해 진다.

 

\[ \frac{\mu^2}{h^3} t= \int_0^\theta d\theta= \theta \tag{5} \]

 

원궤도의 반지름과 주기는 각각,

 

\[ r= \frac{h^2}{\mu}, \ \ \ \ \ T=2 \pi \sqrt{ \frac{r^3}{\mu} } \tag{6} \]

 

이므로(https://pasus.tistory.com/172) 위 식에 대입하면 원궤도에서는 기준점에서 실제 비행각 \(\theta\) 까지 비행하는데 걸리는 시간은 다음과 같이 된다.

 

\[ t= \frac{h^3}{\mu^2} \theta = \frac{T}{2\pi} \theta \tag{7} \]

 

원궤도가 아닌 경우는 식 (4)를 적분해야 하는 복잡한 과정이 필요하다. 다행히 '수학 핸드북'을 찾아보면 식 (4)의 형태를 갖는 함수에 대한 적분 해가 나와 있다.

타원궤도의 경우는 \(0 \lt e \lt 1\) 이므로 수학 핸드북에 나와있는 식 (4)의 적분 해를 찾아보면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \int_0^\theta \frac{d\theta}{(1+e \cos \theta )^2} \tag{8} \\ \\ & \ \ \ \ \ = \frac{1}{(1-e^2 )^{3/2} } \left[ 2 \tan^{-1} \left(\sqrt{ \frac{1-e}{1+e} } \tan \frac{\theta}{2} \right) - \frac{ e \sqrt{1-e^2 } \sin⁡ \theta}{1+e \cos \theta } \right] \end{align} \]

 

여기서 타원의 평균 비행각(mean anomaly)을 다음과 같이 정의하면,

 

\[ M_e = 2 \tan^{-1} \left(\sqrt{ \frac{1-e}{1+e} } \tan \frac{\theta}{2} \right) - \frac{ e \sqrt{1-e^2 } \sin⁡ \theta}{1+e \cos \theta } \tag{9} \]

 

식 (8)을 다음과 같이 간단히 표기할 수 있다.

 

\[ \frac{\mu^2}{h^3} t= \frac{M_e}{(1-e^2 )^{3/2} } \tag{10} \]

 

따라서, 타원궤도의 근지점에서 실제 비행각 \(\theta\) 까지 비행하는데 걸리는 시간은 다음과 같이 된다.

 

\[ t= \frac{h^3}{\mu^2} \frac{ M_e}{(1-e^2 )^{3/2} } \tag{11} \]

 

타원궤도의 장반경과 주기는 각각 다음과 같이 주어지므로,

 

\[ a=\frac{h^2}{\mu} \frac{1}{1-e^2}, \ \ \ \ \ T=2 \pi \sqrt{ \frac{a^3}{\mu} } \tag{12} \]

 

식 (11)은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

 

\[ t= \frac{T}{2 \pi} M_e \tag{13} \]

 

식 (13)과 식 (7)을 비교해 보면 타원궤도에서 평균 비행각이 원궤도의 실제 비행각과 같은 역할을 하는 것을 알 수 있다.

기하학적으로 식 (9)와 (11)을 도출하는 방법도 있는데 이에 대해서는 추후 논의한다. 케플러는 미적분이 발명되기 80여년전에 기하학적인 방법을 사용하여 케플러 방정식을 유도하였다.

 

 

포물선궤도의 경우는 \(e=1\) 이므로 수학 핸드북에 나와있는 식 (4)의 적분 해를 찾아보면 다음과 같다.

 

\[ \int_0^\theta \frac{d\theta}{(1+ \cos \theta )^2} = \frac{1}{2} \tan \frac{\theta}{2} + \frac{1}{6} \tan^3 \frac{\theta}{2} \tag{14} \]

 

여기서 포물선궤도의 평균 비행각(mean anomaly)을 다음과 같이 정의하면,

 

\[ M_p = \frac{1}{2} \tan \frac{\theta}{2} + \frac{1}{6} \tan^3 \frac{\theta}{2} \tag{15} \]

 

식 (14)를 다음과 같이 간단히 표기할 수 있다.

 

\[ \frac{\mu^2}{h^3} t=M_p \tag{16} \]

 

따라서, 포물선궤도의 근지점에서 실제 비행각 \(\theta\) 까지 비행하는데 걸리는 시간은 다음과 같이 된다.

 

\[ t= \frac{h^3}{\mu^2} M_p \tag{17} \]

 

쌍곡선궤도의 경우는 \(e \gt 1\) 이므로 수학 핸드북에 나와있는 식 (4)의 적분 해는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \int_0^\theta \frac{d\theta}{ (1+e \cos \theta )^2} \tag{18} \\ \\ & \ \ \ = \frac{1}{e^2-1 } \left[ \frac{e \sin \theta }{ 1+e \cos \theta }- \frac{1}{ \sqrt{e^2-1} } \ln \left( \frac{ \sqrt{ e+1}+ \sqrt{e-1} \tan \frac{\theta}{2} }{ \sqrt{e+1}- \sqrt{e-1} \tan \frac{\theta}{2} } \right) \right] \end{align} \]

 

여기서 쌍곡선궤도의 평균 비행각(mean anomaly)을 다음과 같이 정의하면,

 

\[ M_h= \frac{ \sqrt{e^2-1} e \sin \theta }{ 1+e \cos \theta }- \ln \left( \frac{ \sqrt{ e+1}+ \sqrt{e-1} \tan \frac{\theta}{2} }{ \sqrt{e+1}- \sqrt{e-1} \tan \frac{\theta}{2} } \right) \tag{19} \]

 

식 (18)을 다음과 같이 간단히 표기할 수 있다.

 

\[ \frac{\mu^2}{h^3} t= \frac{M_h}{(e^2-1)^{3/2} } \tag{20} \]

 

따라서, 쌍곡선궤도의 근지점에서 실제 비행각 \(\theta\) 까지 비행하는데 걸리는 시간은 다음과 같이 된다.

 

\[ t= \frac{h^3}{\mu^2} \frac{M_h}{(e^2-1)^{3/2} } \tag{21} \]

 

식 (7), (11), (17), (21)의 비행시간은 근지점을 기준으로 한 것이므로, 이를 보다 일반적인 경우로 확장할 필요가 있다. 우주비행체가 근지점이 아닌 지점을 기준으로 할 때는 다음 그림과 같이 비행시간을 구하면 된다.

 

\[ \Delta t( \Delta \theta)=t(\theta)-t(\theta_0) \tag{22} \]

 

 

 

식 (11)과 (21)을 보면 타원궤도와 쌍곡선궤도의 수식이 매우 유사하다. 타원궤도 식을 조금 전개하면 다음 식을 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} t &= \frac{h^3}{\mu^2} \frac{M_e}{ \left[ (-1)(e^2-1) \right]^{3/2} } \tag{23} \\ \\ &= \frac{h^3}{\mu^2} \frac{ M_e}{ (j)^3 (e^2-1)^{3/2} } \\ \\ &= \frac{h^3}{\mu^2} \frac{j M_e}{ (e^2-1)^{3/2} } \end{align} \]

 

식 (23)과 (21)을 비교해 보면, 타원 식에서 \(jM_e \to M_h\) 로 치환하면 쌍곡선 식을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다. 이에 대한 자세한 사항은 추후 논의하기로 하겠다.