케플러 문제 (Kepler’s problem) - 2

타원궤도와 비슷한 방법으로 이번에는 쌍곡선궤도의 케플러 문제를 풀어보자.

원점이 두 초점 사이의 중간에 있는 직교 좌표계에서 쌍곡선 방정식을 표현하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$$

 

한편 이전 게시글(https://pasus.tistory.com/171)에서 쌍곡선 방정식을 극좌표계로 다음과 같이 표현한 바 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& r=\frac{a(e^2-1)}{1+e\cos \theta },a>0,e>1\end{array}$$

 

 

 

위 그림에 나와있는 것처럼 $x$ 는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& x& =-a-r_p+r\cos \theta \\ & =-a-a(e-1)+\frac{a(e^2-1)}{1+e\cos \theta }\cos \theta \\ \\ & =-ae+\frac{a(e^2-1)}{1+e\cos \theta }\cos \theta \\ \\ & =-a\frac{e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }\end{array}$$

 

$y$ 는 다음과 같으므로

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& y& =r\sin \theta \\ & =\frac{a(e^2-1)}{1+e\cos \theta }\sin \theta \end{array}$$

 

식 (3)과 (4)를 (1)에 대입하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\left(\frac{e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }\right)}^2-{\left(\frac{a(e^2-1)}{1+e\cos \theta }\frac{\sin \theta }{b}\right)}^2=1\end{array}$$

 

가 된다. 위 식을 전개하면

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& & e^2+2e\cos \theta +{\cos }^2\theta -\frac{a^2(e^2-1{)}^2{\sin }^2\theta }{b^2}\\ & =1+2e\cos \theta +e^2{\cos }^2\theta \end{array}$$

 

이므로, $b$ 를 풀면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& b=a\sqrt{e^2-1}\end{array}$$

 

한편, 다음과 같은 하이퍼 삼각함수의 관계식을 고려할 때,

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\cosh }^{2}F-{\sinh }^{2}F=1\end{array}$$

 

$F$를 다음과 같이 정의한다면,

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \cosh F=\frac{x}{a},\sinh F=\frac{y}{b}\end{array}$$

 

식 (1)을 만족시킬 수 있다. 여기서 $F$ 를 쌍곡선궤도의 이심 비행각(hyperbolic eccentric anomaly)이라고 한다. 식 (9)의 sinh 항을 전개하고 식 (7)을 대입하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& \sinh F& =\frac{r\sin \theta }{b}=\frac{1}{a\sqrt{e^2-1}}\frac{a(e^2-1)}{1+e\cos \theta }\sin \theta \\ & =\frac{\sqrt{e^2-1}\sin \theta }{1+e\cos \theta }\end{array}$$

 

이 되므로 $F$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& F={\sinh }^{-1}\left(\frac{\sqrt{e^2-1}\sin \theta }{1+e\cos \theta }\right)\end{array}$$

 

${\sinh }^{-1}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 의 공식을 사용하면, 식 (11)은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& F& =\ln (\frac{\sqrt{e^2-1}\sin \theta }{1+e\cos \theta }+\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{e^2-1}\sin \theta }{1+e\cos \theta }\right)}^2+1})\\ & =\ln \left(\frac{\sqrt{e^2-1}\sin \theta +e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }\right)\end{array}$$

 

삼각함수 등식을 이용하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \sin \theta =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}},\cos \theta =\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}\end{array}$$

 

식 (12)는 다음과 같이 정리된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(14)}& F& =\ln \left(\frac{1+e+(e-1){\tan }^2\frac{\theta }{2}+2\tan \frac{\theta }{2}\sqrt{e^2-1}}{1+e+(1-e){\tan }^2\frac{\theta }{2}}\right)\\ & =\ln \left(\frac{{(\sqrt{1+e}+\sqrt{e-1}\tan \frac{\theta }{2})}^2}{(\sqrt{1+e}+\sqrt{e-1}\tan \frac{\theta }{2})(\sqrt{1+e}-\sqrt{e-1}\tan \frac{\theta }{2})}\right)\\ \\ & =\ln \left(\frac{\sqrt{1+e}+\sqrt{e-1}\tan \frac{\theta }{2}}{\sqrt{1+e}-\sqrt{e-1}\tan \frac{\theta }{2}}\right)\end{array}$$

 

식 (10)과 (14)를 게시글(https://pasus.tistory.com/307)에 나온 쌍곡선궤도의 평균 비행각(mean anomaly)의 식 (19)와 비교하면

 

$$\begin{array}{}\text{(15)}& M_h=e\sinh F-F\end{array}$$

 

와 일치함을 알 수 있다. 위 식을 쌍곡선궤도의 케플러 방정식이라고 한다.

 

 

$M_h$ 로 쌍곡선궤도의 근지점에서 실제 비행각 $\theta$ 까지 비행하는데 걸리는 시간을 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(16)}& t=\frac{h^3}{{\mu }^2}\frac{M_h}{(e^2-1{)}^{3/2}}\end{array}$$

 

이제 쌍곡선궤도의 이심 비행각과 실제 비행각의 관련성을 유도해 보자. 먼저 식 (8)에 의하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(17)}& {\cosh }^{2}F& =1+{\sinh }^{2}F\\ & =1+{\left(\frac{\sqrt{e^2-1}\sin \theta }{1+e\cos \theta }\right)}^2\\ \\ & =\frac{1+2e\cos \theta +e^2{\cos }^2\theta +(e^2-1){\sin }^2\theta }{(1+e\cos \theta {)}^2}\\ \\ & ={\left(\frac{e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }\right)}^2\end{array}$$

 

이 되므로 이심 비행각과 실제 비행각은 다음과 같은 관계식을 같는다.

 

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \cosh F=\frac{e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }\end{array}$$

 

위 식을 $\cos \theta$ 에 대해서 풀면,

 

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \cos \theta =\frac{\cosh F-e}{1-e\cosh F}\end{array}$$

 

이 된다. 또한 tanh 관계식과 식 (10), (18)에 의하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(20)}& \tanh \frac{F}{2}& =\frac{\sinh F}{1+\cosh F}=\frac{\frac{\sqrt{e^2-1}\sin \theta }{1+e\cos \theta }}{1+\frac{e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }}\\ & =\frac{\sqrt{e^2-1}\sin \theta }{(1+e)(1+\cos \theta )}\\ \\ & =\sqrt{\frac{e-1}{e+1}}\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\end{array}$$

 

가 된다. 그런데 여기서

 

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\end{array}$$

 

이므로 다음과 같은 이심 비행각과 실제 비행각의 관계식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \tanh \frac{F}{2}=\sqrt{\frac{e-1}{e+1}}\tan \frac{\theta }{2}\end{array}$$

 

타원궤도의 케플러 문제에 관한 글(https://pasus.tistory.com/308)을 보면 식 (15)와 (22)가 타원궤도의 해당 수식과 매우 유사함을 알 수 있다. 실제로 타원궤도의 평균 비행각 식에서 $j{M}_e\to M_h$ 로 치환하면 쌍곡선 식을 얻을 수 있었다(https://pasus.tistory.com/307).

그렇다면 두 궤도의 이심 비행각 간의 관계는 어떨까. 타원궤도의 평균 비행각 식에서

 

$$\begin{array}{}\text{(23)}& M_e=E-e\sin E\end{array}$$

 

양변에 $j=\sqrt{-1}$ 를 곱하고 $j{M}_e\to M_h$ 로 놓으면,

 

$$\begin{array}{}\text{(24)}& M_h=j{M}_e=jE-je\sin E\end{array}$$

 

이 된다. 여기서

 

$$\begin{array}{}\text{(25)}& jE\to -F\end{array}$$

 

로 치환하면, 식 (24)는

 

$$\begin{array}{}\text{(26)}& M_h=-je\sin (jF)-F\end{array}$$

 

이 된다. sin 함수는 다음과 같이 쓸 수 있으므로,

 

$$\begin{array}{}\text{(27)}& \sin x=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}\end{array}$$

 

식 (26)은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(28)}& M_h& =-je\frac{e^{-F}-e^F}{2j}-F\\ & =e\frac{e^F-e^{-F}}{2}-F\\ \\ & =e\sinh F-F\end{array}$$

 

따라서 타원궤도의 이심 비행각 식에서 $E\to jF$ 로 치환하면 쌍곡선궤도의 이심 비행각을 얻을 수 있다.