상대 궤도요소 (Relative Orbital Elements) - 2

chief 위성의 궤도가 원궤도 또는 근 원궤도(near-circular orbit)일 경우, 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 상대 궤도요소(ROM, relative orbital elements) \(\delta \kappa\) 를 이용하면 Hill 좌표계에서 상대 위치벡터 \(\delta \vec{r}=x\hat{o}_1+y\hat{o}_2+z\hat{o}_3\) 를 다음 식으로 표현할 수 있다 (https://pasus.tistory.com/240).

 

\[ \begin{align} x & \approx a \delta a-a \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 \cos (u-\varphi) \tag{1} \\ \\ y & \approx -\frac{3}{2} ua \delta a+ a \delta \lambda_0+2a \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 \sin (u-\varphi) \\ \\ z & \approx a \lVert \delta \vec{i} \rVert_2 \sin (u-\vartheta) \end{align} \]

 

여기서 상대 궤도요소(ROM) \(\delta \kappa\) 는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \delta \kappa &= \begin{bmatrix} \delta a \\ \delta \lambda_0 \\ \delta e_x \\ \delta e_y \\ \delta i_x \\ \delta i_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta a \\ \lambda_0 \\ \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 \cos \varphi \\ \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 \sin \varphi \\ \lVert \delta \vec{i} \rVert_2 \cos \vartheta \\ \lVert \delta \vec{i} \rVert_2 \sin \vartheta \end{bmatrix} \tag{2} \\ \\ &= \begin{bmatrix} \frac{a_d-a}{a} \\ (u_d (0)-u(0))+(\Omega_d-\Omega) \cos i \\ e_{x_d}-e_x \\ e_{y_d}-e_y \\ i_d-i \\ (\Omega_d-\Omega) \sin i \end{bmatrix} \end{align} \]

 

식 (1)에서 독립변수는 chief 위성의 mean argument of latitude인 \(u=\omega+M\) 이다. 식 (1)과 (2)에서 \(\delta a\) 와 \(\delta \lambda_0\) 는 무차원화된 고전 궤도요소의 상대적인 차이를 나타내고 \(\delta \vec{e}\) 와 \(\delta \vec{i}\) 는 각각 상대 이심율 벡터(relative eccentricity vector)와 상대 경사각 벡터(relative inclination vector)를 나타낸다.

 

 

식 (2)로 주어지는 준 비특이(quasi-nonsingular) 상대 궤도요소(ROE)는 chief 위성과 deputy 위성간 상대 궤도의 기하학적 관계를 직관적으로 표현한다. 예를 들면, \(\delta \vec{i}=0\) 인 경우 \(\hat{o}_1-\hat{o}_3\) 평면(out-of-plane) 운동의 진폭이 \(0\) 이라고 결론을 내릴 수 있다. 또한 \(\delta a, \delta \lambda, \delta \vec{e}\) 는 궤도면 운동을 나타내고 \(\delta \vec{i}\) 는 궤도면 밖으로의 운동을 나타낸다. 이러한 장점 때문에 식 (2)로 주어지는 상대 궤도요소(ROE)는 군집 위성 운동에서 충돌회피(collision avoidance) 문제와 유도항법제어 설계 문제에 자주 사용되고 있다.

상대 궤도요소(ROE)를 Hill 좌표계의 \(\hat{o}_1-\hat{o}_2\) 평면(in-plane)과 \(\hat{o}_1-\hat{o}_3\) 평면(out-of-plane)에 나타내면 다음 그림과 같다.

 

 

chief 위성과 deputy 위성 간의 \(\hat{o}_2\) 축(along-track) 상의 거리가 계속 증가하는데 그 이유는 식 (1)에서 \(\delta a\) 항 때문이다. 두 궤도 사이에서 \(\delta a\) 가 \(0\) 이 아닌 경우 궤도 주기가 다르기 때문에 두 궤도의 거리는 점차 멀어지게 된다. \(\delta a=0\)인 경우로 제한할 경우 Hill 좌표계의 \(\hat{o}_1-\hat{o}_2\) 평면(in-plane)과 \(\hat{o}_1-\hat{o}_3\) 평면(out-of-plane)에서 두 위성의 상대 운동을 나타내면 다음 그림과 같다.

 

 

\(\delta a=0\) 의 조건이 적용될 때 chief 위성에 대한 deputy 위성의 상대 궤도는 \(\hat{o}_2\) 축(along-track) 방향을 따라 장반경 \(2a \lVert \delta \vec{e} \rVert_2\) 및 \(\hat{o}_1\) 축(반경) 방향으로 단반경 \(a \lVert \delta \vec{e} \rVert_2\) 인 타원이 된다. \( a \delta \lambda_0\) 는 \(\hat{o}_2\) 축(along-track) 방향으로의 타원 중심까지의 거리를 나타내고 \(\lVert \delta \vec{e} \rVert_2\) 는 \(\hat{o}_1-\hat{o}_2\) 평면(궤도면)에서의 진동 크기를 나타낸다. mean argument of latitude인 \(u\) 가 위상각 \(\varphi\) 와 값이 같을 때에는 deputy 위성은 타원 중심 바로 아래에 위치하고 \(u=\varphi +\frac{\pi}{2}\) 이면 chief 위성의 바로 앞에 위치한다.

상대 경사각 벡터 \(\delta \vec{i}\) 는 궤도면에 수직인 상대 운동을 설명하는 데 사용된다. \(\hat{o}_1-\hat{o}_3\) 평면(out-of-plane)에서의 상대 궤도는 기울어진 타원이며 위상각의 차이인 \(\varphi- \vartheta \) 는 기울어진 타원의 방향과 관련이 있다. chief 위성에 대한 deputy 위성의 상대 운동은 진폭 \(a \lVert \delta \vec{i} \rVert_2\) 및 위상각 \(u-\vartheta\) 의 조화 진동 운동이다.

상대 경사각 벡터 \(\delta \vec{i}\) 는 정의만 보면 기하학적으로 어떤 값을 의미하는지 모호할 수 있다. 이에 대한 보다 구체적인 이해를 위하여 다음 그림을 보자.

 

 

그림에서 \(\vec{h}\) 는 chief 위성의 각운동력 벡터, \(\vec{h}_d\) 는 deputy 위성의 각운동력 벡터이다. 두 각운동량 벡터의 사이각 \( \delta_h\) 는 두 궤도의 경사각의 차이 \(\Delta = i=i_d-i \) 뿐만 아니라 RAAN의 차이 \(\Delta \Omega =\Omega_d-\Omega \) 의 함수이기도 한데, 그 관계식은 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} \cos \delta_h &= \cos i \cos i_d + \sin i \sin i_d \cos \Delta \Omega \tag{3} \\ \\ & =\cos i \cos (i+ \Delta i)+ \sin i \sin (i+\Delta i) \cos \Delta \Omega \end{align} \]

 

만약 \(\Delta i, \Delta \Omega, \delta_h\) 가 작은 값이라면 위 식은 다음과 같이 근사화할 수 있다.

 

\[ \begin{align} 1-\frac{\delta_h^2}{2} & \approx \cos^2 i \left(1-\frac{\Delta i^2}{2} \right) - \cos i \sin i \Delta i \tag{4} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \left( \sin^2 i \left( 1-\frac{\Delta i^2}{2} \right)+ \sin i \cos i \Delta i \right) \left( 1-\frac{\Delta \Omega ^2}{2} \right) \\ \\ & = 1- \frac{\Delta i^2}{2}- \left( 1- \frac{\Delta i^2}{2} \right) \sin^2 i \frac{\Delta \Omega^2}{2}- \sin i \cos i \Delta i \frac{\Delta \Omega^2}{2} \\ \\ & \approx 1- \frac{\Delta i^2}{2} - \sin^2 i \frac{\Delta \Omega^2}{2} \end{align} \]

 

따라서

 

\[ \delta_h \approx \sqrt{ \Delta i^2+ \sin^2 i \Delta \Omega^2 } \tag{5} \]

 

이 된다. 상대 경사각 벡터(relative inclination vector)의 정의와 비교해 보면 \(\delta_h\) 는 \(\lVert \delta \vec{i} \rVert_2\) 와 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 \(\lVert \delta \vec{i} \rVert_2\) 는 chief 궤도면에 대한 deputy 궤도면의 기울어진 각을 의미한다.