상대 궤도요소 (Relative Orbital Elements) - 1

식 (1)로 주어지는 Clohessy-Wiltshire(CW) 방정식

 

\[ \begin{align} & \ddot{x}-3n^2 x-2n \dot{y}=0 \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2n\dot{x}=0 \\ \\ & \ddot{z}+n^2 z=0 \end{align} \]

 

의 해는 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/239).

 

 

 

\[ \begin{align} & x(t)= \frac{\dot{x}_0}{n} \sin nt- \left( 3x_0+\frac{2}{n} \dot{y}_0 \right) \cos nt+ \frac{2}{n} (2nx_0+ \dot{y}_0 ) \tag{2} \\ \\ & y(t)=2 \left( 3x_0+ \frac{2}{n} \dot{y}_0 \right) \sin nt+ \left( \frac{2}{n} \dot{x}_0 \right) \cos nt+y_0- \frac{2}{n} \dot{x}_0-3(2nx_0+ \dot{y}_0 )t \\ \\ & z(t)=z_0 \cos nt+ \frac{\dot{z}_0}{n} \sin nt \end{align} \]

 

여기서 \(x, y, z\) 는 chief 위성에 대한 deputy 위성의 상대 위치를 Hill 좌표계로 표현한 좌표이고 \(x_0, y_0, z_0, \dot{x}_0, \dot{y}_0, \dot{z}_0\) 는 각각 \(x, y, z\) 와 \(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}\)의 초기값이다.

 

 

식 (2)에서 다음과 같이 초기값의 조합으로 이루어진 6개의 상수를 정의하면,

 

\[ \begin{align} & c_1=4x_0+ \frac{2}{n} \dot{y}_0 \tag{3} \\ \\ & c_2=y_0-\frac{2}{n} \dot{x}_0 \\ \\ & c_3=3x_0+\frac{2}{n} \dot{y}_0 \\ \\ & c_4= - \frac{\dot{x}_0}{n} \\ \\ & c_5= \frac{\dot{z}_0}{n} \\ \\ & c_6=-z_0 \end{align} \]

 

CW 방정식의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} & x(t)=c_1-c_3 \cos nt-c_4 \sin nt \tag{4} \\ \\ & y(t)=-\frac{3}{2} c_1 nt+c_2+2c_3 \sin nt-2c_4 \cos nt \\ \\ & z(t)=c_5 \sin nt-c_6 \cos nt \end{align} \]

 

식 (4)를 위치 \(x, y, z\) 뿐만 아니라 속도 \(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}\) 항까지 포함하여 행렬/벡터 형식으로 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\cos nt & -\sin nt & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} nt & 1 & 2 \sin nt & -2 \cos nt & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sin nt & -\cos nt \\ 0 & 0 & n \sin nt & -n \cos nt & 0 & 0 \\ -\frac{3}{2} n & 0 & 2n \cos nt & 2n \sin nt & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & n \cos nt & n \sin nt \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\ c_5 \\ c_6 \end{bmatrix} \tag{5} \]

 

위 식의 역행렬을 구하면 상수항을 시간 \(t\) 에서의 상대 위치와 속도로 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\ c_5 \\ c_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{n} & 0 \\ 6nt & 1 & 0 & -\frac{2}{n} & 3t & 0 \\ 3 \cos nt & 0 & 0 & \frac{1}{n} \sin nt & \frac{2}{n} \cos nt & 0 \\ 3 \sin nt & 0 & 0 & -\frac{1}{n} \cos nt & \frac{2}{n} \sin nt & 0 \\ 0 & 0 & \sin nt & 0 & 0 & \frac{1}{n} \cos nt \\ 0 & 0 & -\cos nt & 0 & 0 & \frac{1}{n} \sin nt \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z}(t) \end{bmatrix} \tag{6} \]

 

식 (5)로 주어지는 CW 방정식의 해는 다음과 같이 진폭/위상 형식으로도 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & x(t) = c_1-c_{34} \cos (nt-\varphi) \tag{7} \\ \\ & y(t)= -\frac{3}{2} c_1 nt+c_2+2c_{34} \sin (nt-\varphi) \\ \\ & z(t)=c_{56} \sin (nt-\vartheta) \\ \\ & \dot{x}(t) =c_{34} n \sin (nt-\varphi) \\ \\ & \dot{y}(t)= -\frac{3}{2} c_1 n+2c_{34} n \cos (nt- \varphi) \\ \\ & \dot{z} (t)=c_{56} n \cos⁡(nt-\vartheta) \end{align} \]

 

여기서

 

\[ \begin{align} & c_{34} = \sqrt{ c_3^2+c_4^2 }, \ \ \ \varphi= \tan^{-1} \left( \frac{c_4}{c_3} \right) \\ \\ & c_{56} = \sqrt{ c_5^2+c_6^2 }, \ \ \ \vartheta = \tan^{-1} \left( \frac{c_6}{c_5} \right) \end{align} \]

 

이다. 식 (7)에서 \(c_{34}\) 와 \( \varphi\) 는 Hill 좌표계의 \(\hat{o}_1\) 축과 \(\hat{o}_2\) 축에서의 운동에만 관여되므로 chief 위성의 궤도면 내 (in-plane)에서의 상대 운동의 진폭과 위상각이라고 하고, \(c_{56}\) 과 \(\vartheta\) 는 \(\hat{o}_3\) 축 운동에만 관여되므로 각각 궤도면 밖 (out-of-plane)으로의 진폭과 위상각이라고 한다.

위 식에서 상수 \(c_1, ... , c_6\) 는 특정 초기 시간 \(t_0\) 에서 상대 위치 벡터와 속도 벡터로 구성된 초기 조건을 사용하여 계산할 수 있지만 실제로는 문제의 물리적 특성에 따라 독립적인 상수로서 주어질 수도 있다.

 

 

한편 이체문제(two-body problem)에서 위성의 궤도는 \(6\) 개의 케플러 궤도요소(Kepler orbital elements) 또는 고전 궤도요소 \( (a, e, i, \omega, \Omega, M (\theta ) ) \) 에 의해서 정의될 수 있다.

 

 

여기서 \(a\) 는 장반경(semimajor axis), \(e\) 는 이심율(eccentricity), \(i\) 는 궤도 경사각(inclination angle), \(\omega \) 는 argument of perigee, \(\Omega \) 는 longitude of ascending node, \(M\) 은 mean anomaly, \(\theta \) 는 true anomaly이다. \( (a, e, i, \omega, \Omega )\) 는 상수이고 \(M, \theta\) 는 시간 함수다.

 

\[ \dot{a}= \dot{e}= \dot{i}= \dot{\omega} = \dot{\Omega}=0, \ \ \dot{M}=n= \sqrt{ \frac{\mu}{a^3}} \tag{8} \]

 

원궤도 또는 적도 궤도인 경우에는 고전 궤도요소 중에서 \(\omega, \Omega\) 가 정의되지 않기 때문에 수정된 궤도요소를 사용하기도 한다. 원형 비적도 궤도의 경우에는 다음과 같이 준 비특이 궤도요소(quasi-nonsingular orbital elements)를 사용한다.

 

\[ \kappa = \begin{bmatrix} a \\ e_x \\ e_y \\ i \\ \Omega \\ u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ e \cos \omega \\ e \sin \omega \\ i \\ \Omega \\ \omega+M \end{bmatrix} \tag{9} \]

 

여기서 \( (e_x, e_y) \) 를 이심율 벡터 (eccentricity vector) \(\vec{e}\) 의 구성 요소, \(u=\omega+M\) 을 mean argument of latitude 라고 한다. 이제 두 위성(chief 와 deputy) 간의 거리 벡터 \(\delta \vec{r}\) 과 궤도요소에 대한 관계식을 알아보도록 한다.

Hill 좌표계에서의 상대 위치 좌표와 두 위성의 고전 궤도요소 사이에는 다음과 같은 근사적인 선형 관계식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} & x(t) \approx \frac{r}{a} \Delta a+ \frac{ae \sin \theta }{\eta} \Delta M-a \cos \theta \Delta e \tag{10} \\ \\ & y(t) \approx \frac{r}{\eta^3} (1+e \cos \theta )^2 \Delta M+ r \Delta \omega \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac{r \sin \theta}{\eta^2} (2+e \cos \theta ) \Delta e+r \cos i \Delta \Omega \\ \\ & z(t) \approx r \sin (\theta + \omega ) \Delta i-r \cos (\theta+\omega) \sin i \Delta \Omega \end{align} \]

 

여기서 \( (a, e, i, \omega, \Omega, M (\theta))\) 는 chief 위성의 궤도요소, \( (a_d, e_d, i_d, \omega_d, \Omega_d, M_d) \) 는 deputy 위성의 궤도요소이고,

 

\[ \begin{align} & \Delta a=a_d-a, \ \ \Delta e=e_d-e, \ \ \Delta i=i_d-i, \\ \\ & \Delta \omega = \omega_d- \omega, \ \ \Delta \Omega = \Omega_d- \Omega, \ \ \Delta M=M_d-M, \\ \\ & \eta = \sqrt{1-e^2} \end{align} \]

 

이다. 두 위성의 이심율 벡터의 차분을 구하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \delta e_x &= e_{x_d}-e_x \tag{11} \\ \\ & \approx (e+\Delta e) \cos (\omega+ \Delta \omega)-e \cos \omega \\ \\ & \approx \Delta e \cos \omega- e \Delta \omega \sin \omega \\ \\ \delta e_y & = e_{y_d }-e_y \\ \\ & \approx (e+\Delta e) \sin (\omega + \Delta \omega )-e \sin \omega \\ \\ & \approx e \Delta \omega \cos \omega + \Delta e \sin \omega \end{align} \]

 

식 (10)과 (11)은 원형 및 타원형 chief 궤도 모두에 유효하다. 이체문제에서는 mean anomaly \(M\) 을 제외하고는 궤도요소가 모두 상수이기 때문에 \(\Delta M\) 을 제외하고는 모든 궤도요소의 차분이 자연스럽게 일정하게 유지된다. 두 궤도 사이에서 \(\Delta a\) 가 \(0\) 이 아닌 경우 궤도 주기가 다르기 때문에 두 궤도의 거리는 점차 멀어지게 되는데 식 (10)은 선형화된 식이기 때문에 상대 궤도 사이의 거리 \(\delta r\) 이 chief 위성의 궤도 반경 \(r\) 에 비해 아주 작을 때만 유효하다는 점에 주의해야 한다.

chief 위성의 이심율이 작다면 \(e^2 \approx 0\), \(\eta^2 \approx 1\), \( r \approx a(1-e \cos \theta)\) 이므로 식 (10)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} & x(t) \approx (1-e \cos \theta) \Delta a+ \frac{ae \sin \theta }{\eta} \Delta M-a \cos \theta \Delta e \tag{12} \\ \\ & y(t) \approx \frac{a}{\eta} (1+e \cos \theta ) \Delta M+ a (1-e \cos \theta) \Delta \omega \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + a \sin \theta (2 - e \cos \theta ) \Delta e+ a (1-e \cos \theta) \cos i \Delta \Omega \\ \\ & z(t) \approx a (1-e \cos \theta) \sin (\theta + \omega ) \Delta i- a (1-e \cos \theta) \cos (\theta+\omega) \sin i \Delta \Omega \end{align} \]

 

chief 위성의 궤도가 원궤도 또는 근 원궤도(near-circular orbit)라면 \(e \approx 0\), \(\eta \approx 1\), \(r \approx a\), \(\theta \approx M\) 이므로 식 (12)는 다음과 같이 더욱 간략화 된다.

 

\[ \begin{align} & x(t) \approx \Delta a -a \cos \theta \Delta e \tag{13} \\ \\ & y(t) \approx a \Delta M+ a \Delta \omega + 2a \sin \theta \Delta e+ a \cos i \Delta \Omega \\ \\ & z(t) \approx a \sin (\theta + \omega ) \Delta i- a \cos (\theta+\omega) \sin i \Delta \Omega \end{align} \]

 

상대 이심율 벡터 식 (11)도 다음과 같이 간단해 진다.

 

\[ \begin{align} \delta e_x & \approx \Delta e \cos \omega -e \Delta \omega \sin⁡ \omega \tag{14} \\ & \approx \Delta e \cos \omega \\ \\ \delta e_y & \approx e \Delta \omega \cos \omega + \Delta e \sin \omega \\ & \approx \Delta e \sin \omega \end{align} \]

 

 

 

식 (14)를 이용하면 식 (13)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} \frac{x(t)}{a} & \approx \delta a- \cos (u-\omega) \Delta e \tag{15} \\ \\ &= \delta a- \Delta e (\cos u \cos \omega + \sin u \sin \omega ) \\ \\ & = \delta a- \delta e_x \cos u- \delta e_y \sin u \\ \\ \frac{y(t)}{a} & \approx \Delta M+ \Delta \omega +2 \sin (u-\omega) \Delta e+ \cos i \Delta \Omega \\ \\ &= \delta \lambda + 2 \Delta e (\sin u \cos \omega- \cos u \sin \omega ) \\ \\ &= \delta \lambda + 2 \delta e_x \sin u-2 \delta e_y \cos u \\ \\ \frac{z(t)}{a} & \approx \sin ⁡(M+\omega) \Delta i- \cos (M+\omega) \sin i \Delta \Omega \\ \\ &= \sin u \Delta i- \cos u \Delta \Omega \sin i \\ \\ &= \delta i_x \sin u- \delta i_y \cos u \end{align} \]

 

여기서 \(\delta a= \frac{\Delta a}{a}\), \(\delta \lambda\) 는 relative mean longitude, \(( \delta i_x, \delta i_y)\) 는 relative inclination vector \(\delta \vec{i}\) 의 구성 요소로서

 

\[ \begin{align} & \delta \lambda = \Delta u+ \Delta \Omega \cos i \tag{16} \\ \\ & \delta i_x= \Delta i, \ \ \ \delta i_y= \Delta \Omega \sin i \end{align} \]

 

이다. 식 (15)에서 \(\delta \lambda \) 의 시간 변화율은 다음과 같으므로

 

\[ \delta \dot{\lambda} = \Delta \dot{u}= - \frac{3}{2} n \delta a \tag{17} \]

 

\(\delta \lambda\) 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \delta \lambda = - \frac{3}{2} nt \delta a+ \delta \lambda_0 \tag{18} \]

 

여기서

 

\[ \delta \lambda_0= \Delta u_0+ \Delta \Omega \cos i=u_d (0)-u(0) + \Delta \Omega \cos i \]

 

이다. 그러면 식 (15)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \frac{x(t)}{a} \approx \delta a- \delta e_x \cos u- \delta e_y \sin u \tag{19} \\ \\ & \frac{y(t)}{a} \approx - \frac{3}{2} nt \delta a+ \delta \lambda_0+2 \delta e_x \sin u-2 \delta e_y \cos u \\ \\ & \frac{z(t)}{a} \approx \delta i_x \sin u- \delta i_y \cos u \end{align} \]

 

식 (19)와 (4)를 비교해 보면

 

\[ \begin{align} & u=nt, \tag{20} \\ \\ & c_1=a \delta a, \ \ c_2=a \delta \lambda_0, \ \ c_3=a \delta e_x, \\ \\ & c_4=a \delta e_y, \ \ c_5=a \delta i_x, \ \ c_6=a \delta i_y \end{align} \]

 

일 때 두 식이 완벽히 일치함을 알 수 있다. 그러면 식 (7)에서

 

\[ \begin{align} & c_{34}= a \sqrt{ \delta e_x^2+ \delta e_y^2} = a \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 , \ \ \ \varphi =\tan^{-1} \left( \frac{\delta e_y}{\delta e_x } \right) \tag{21} \\ \\ & c_{56}= a \sqrt{ \delta i_x^2+ \delta i_y^2 } = a \lVert \delta \vec{i} \rVert_2 , \ \ \ \vartheta =\tan^{-1} \left( \frac{\delta i_y}{\delta i_x} \right) \end{align} \]

 

로 쓸 수 있다. 따라서 상대 궤도요소(ROE, relative orbital emements)를 다음과 같이 정의한다면,

 

\[ \begin{align} \delta \kappa &= \begin{bmatrix} \delta a \\ \delta \lambda_0 \\ \delta e_x \\ \delta e_y \\ \delta i_x \\ \delta i_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta a \\ \delta \lambda_0 \\ \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 \cos \varphi \\ \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 \sin \varphi \\ \lVert \delta \vec{i} \rVert_2 \cos \vartheta \\ \lVert \delta \vec{i} \rVert_2 \sin \vartheta \end{bmatrix} \tag{22} \\ \\ &= \begin{bmatrix} \frac{a_d-a}{a} \\ (u_d (0)-u(0))+(\Omega_d-\Omega ) \cos i \\ e_{x_d}-e_x \\ e_{y_d}-e_y \\ i_d-i \\ (\Omega_d- \Omega) \sin i \end{bmatrix} \end{align} \]

 

두 위성 간의 상대 좌표를 다음과 같이 ROE의 함수로 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} x & \approx a \delta a- a \delta e_x \cos u- a \delta e_y \sin u \tag{23} \\ & = a \delta a -a \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 \cos (u-\varphi ) \\ \\ y &\approx -\frac{3}{2} ua \delta a + a\delta \lambda_0+2a \delta e_x \sin u-2a \delta e_y \cos u \\ & = -\frac{3}{2} ua \delta a + a\delta \lambda_0 + 2a \lVert \delta \vec{e} \rVert_2 \sin (u-\varphi ) \\ \\ z & \approx a \delta i_x \sin u- a \delta i_y \cos u \\ & = a \lVert \delta \vec{i} \rVert_2 \sin (u-\vartheta) \end{align} \]

 

즉 \(nt_0=u_0=0\) 에서 mean argument of latitude \(u\) 를 독립 변수로 사용하여 Hill 좌표를 일정한 상대 궤도요소의 선형 함수로 표현할 수 있다.

식 (22)로 주어지는 ROE를 준 비특이(quasi-nonsingular) ROE라고 하며 스탠퍼드대 교수 D'Amico가 처음으로 도입하였다.