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유도항법제어/비행제어

주파수 응답

by 깊은대학 2021. 2. 5.

주파수 응답(frequency response)은 안정한 LTI(선형 시불변) 시스템에 싸인 또는 코사인 파형(sinusoids) 입력을 가했을 때 나오는 정정상태 응답(steady-state response)이다.

입력 u(t) 가 시스템에 가해지는 시간이 t=0 이라면 초기값이 0 이라는 가정하에서 인과(causal) LTI 시스템의 출력은 다음과 같다.

 

(1)y(t)=0th(tτ)u(τ) dτ=0th(τ)u(tτ) dτ

 

여기서 h(t) 는 LTI 시스템의 임펄스 반응(impulse response)이다.

이제 입력이 다음과 같이 진폭이 A 이고 주파수가 ω 인 sinusoids라고 하자.

 

(2)u(t)=Aejωt,    t0

 

그러면 출력 y(t) 는 다음과 같이 계산된다.

 

(3)y(t)=0th(τ)Aejω(tτ) dτ=0h(τ)Aejω(tτ) dτth(τ)Aejω(tτ) dτ=(0h(τ)ejωτ dτ)Aejωt(th(τ)ejωτ dτ)Aejωt

 

여기서 전달함수(transfer function)의 정의에 의하면,

 

(4)H(s)=L[h(t)]=0h(t)est dt

 

이므로 식 (3)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

(5)y(t)=H(jω)Aejωt(th(τ)ejωτ dτ)Aejωt

 

식 (5)에서 H(jω)h(t) 의 라플라스 변환(Laplace transform) H(s) 에서 s=jω 로 치환한 것이다. 또한 식 (5)에서 다음 부등식이 성립한다.

 

(6)|th(τ)ejωτ dτ ejωt|=|th(τ)ejωτ dτ| |ejωt|t|h(τ)| |ejωτ| dτ=t|h(τ)| dτ

 

시스템이 BIBO(Bounded Input Bounded Output)라면,

 

(7)0|h(t)| dt<

 

이 성립하므로 t 일 때,

 

(8)|th(τ)ejωτ dτ ejωt|0

 

이 된다. 따라서 식 (5)에서 t 일 때의 응답, 즉 정정상태 응답은 다음과 같이 된다.

 

(9)y(t)=H(jω)Aejωt

 

식 (9)에 의하면 주파수 응답은 H(jω) 만 알면 계산할 수 있기 때문에, H(jω) 를 시스템의 ‘주파수 응답’이라고 하기도 한다.

 

 

주파수 응답의 예를 들어 보자.

시스템의 전달함수가 H(s)=1(s+1) 일 때, 입력이 u(t)=sin(0.5t)라면,

 

 

주파수 응답은 다음과 같고,

 

H(j0.5)=1(j0.5+1)

 

정정상태 응답은 다음과 같이 된다.

 

y(t)=Im[H(j0.5)ej0.5t]=|H(j0.5)|sin(0.5t+H(j0.5))

 

여기서 Im은 복소수의 허수부를 뜻하고,

 

|H(j0.5)|=|1(j0.5+1)|0.9H(j0.5)=tan10.526.6o

 

이다. 따라서 정정상태 응답은 다음과 같이 된다.

 

y(t)0.9sin(0.5t26.6o)

 

 

위 그림에서 빨강색이 입력, 파랑색이 응답이다.

 

 

 

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