주파수 응답

주파수 응답(frequency response)은 안정한 LTI(선형 시불변) 시스템에 싸인 또는 코사인 파형(sinusoids) 입력을 가했을 때 나오는 정정상태 응답(steady-state response)이다.

입력 $u(t)$ 가 시스템에 가해지는 시간이 $t=0$ 이라면 초기값이 $0$ 이라는 가정하에서 인과(causal) LTI 시스템의 출력은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& y(t)& ={\int }_0^{t}h(t-\tau )u(\tau )d\tau \\ & ={\int }_0^{t}h(\tau )u(t-\tau )d\tau \end{array}$$

 

여기서 $h(t)$ 는 LTI 시스템의 임펄스 반응(impulse response)이다.

이제 입력이 다음과 같이 진폭이 $A$ 이고 주파수가 $\omega$ 인 sinusoids라고 하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& u(t)=A{e}^{j\omega t},t\ge 0\end{array}$$

 

그러면 출력 $y(t)$ 는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& y(t)& ={\int }_0^{t}h(\tau )A{e}^{j\omega (t-\tau )}d\tau \\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(\tau )A{e}^{j\omega (t-\tau )}d\tau -{\int }_t^{\mathrm{\infty }}h(\tau )A{e}^{j\omega (t-\tau )}d\tau \\ \\ & =({\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau )A{e}^{j\omega t}-({\int }_t^{\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau )A{e}^{j\omega t}\end{array}$$

 

여기서 전달함수(transfer function)의 정의에 의하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& H(s)=\mathfrak{L}[h(t)]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(t)e^{-st}dt\end{array}$$

 

이므로 식 (3)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& y(t)=H(j\omega )A{e}^{j\omega t}-({\int }_t^{\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau )A{e}^{j\omega t}\end{array}$$

 

식 (5)에서 $H(j\omega )$ 는 $h(t)$ 의 라플라스 변환(Laplace transform) $H(s)$ 에서 $s=j\omega$ 로 치환한 것이다. 또한 식 (5)에서 다음 부등식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& |{\int }_t^{\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau e^{j\omega t}|& =|{\int }_t^{\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau |\left|e^{j\omega t}\right|\\ & \le {\int }_t^{\mathrm{\infty }}|h(\tau )|\left|e^{-j\omega \tau }\right|d\tau \\ \\ & ={\int }_t^{\mathrm{\infty }}|h(\tau )|d\tau \end{array}$$

 

시스템이 BIBO(Bounded Input Bounded Output)라면,

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}|h(t)|dt<\mathrm{\infty }\end{array}$$

 

이 성립하므로 $t\to \mathrm{\infty }$ 일 때,

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& |{\int }_t^{\mathrm{\infty }}h(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau e^{j\omega t}|\to 0\end{array}$$

 

이 된다. 따라서 식 (5)에서 $t\to \mathrm{\infty }$ 일 때의 응답, 즉 정정상태 응답은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& y(t)=H(j\omega )A{e}^{j\omega t}\end{array}$$

 

식 (9)에 의하면 주파수 응답은 $H(j\omega )$ 만 알면 계산할 수 있기 때문에, $H(j\omega )$ 를 시스템의 ‘주파수 응답’이라고 하기도 한다.

 

 

주파수 응답의 예를 들어 보자.

시스템의 전달함수가 $H(s)=\frac{1}{(s+1)}$ 일 때, 입력이 $u(t)=\sin (0.5t)$라면,

 

 

주파수 응답은 다음과 같고,

 

$$H(j0.5)=\frac{1}{(j0.5+1)}$$

 

정정상태 응답은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}y(t)& =\mathit{Im}[H(j0.5)e^{j0.5t}]\\ \\ & =|H(j0.5)|\sin (0.5t+\mathrm{\angle }H(j0.5))\end{array}$$

 

여기서 $\mathit{Im}$은 복소수의 허수부를 뜻하고,

 

$$\begin{array}{rl}& |H(j0.5)|=\left|\frac{1}{(j0.5+1)}\right|\approx 0.9\\ \\ & \mathrm{\angle }H(j0.5)=-{\tan }^{-1}0.5\approx -{26.6}^o\end{array}$$

 

이다. 따라서 정정상태 응답은 다음과 같이 된다.

 

$$y(t)\approx 0.9\sin (0.5t-{26.6}^o)$$

 

 

위 그림에서 빨강색이 입력, 파랑색이 응답이다.