[PSOC-2] 르장드르 다항식 (Legendre Polynomials)

르장드르 다항식(Legendre polynomials)은 다음 르장드르 미분방정식을 만족하는 다항식 $P_N(\tau )$ 이다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (1-{\tau }^2){\ddot{P}}_N(\tau )-2\tau {\dot{P}}_N(\tau )+N(N+1)P_N(\tau )=0,N=0,1,2,...\end{array}$$

 

여기서 독립변수 $\tau$ 는 $[-1,1]$ 의 범위를 갖는다. $P_N(\tau )$ 을 $N$ 차 르장드르 다항식이라고 한다.

$N=0$ 일 때의 미분 방정식의 해, 즉 $0$ 차 르장드르 다항식은 $P_0(\tau )=1$ 이고, $N=1$ 일 때의 해는 $P_1(\tau )=\tau$ 이다.

$N\ge 2$ 일 때는 다음과 같이 재귀(recursion)식으로 르장드르 다항식을 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& (N+1)P_{N+1}(\tau )=(2N+1)\tau P_N(\tau )-N{P}_{N-1}(\tau )\end{array}$$

 

르장드르 다항식은 다음과 같은 직교 특성을 가지고 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\int }_{-1}^1{P}_M(\tau )P_N(\tau )d\tau =\frac{2}{2N+1}{\delta }_{MN}\end{array}$$

 

여기서 ${\delta }_{MN}$ 은 크로넥커 델타(Kronecker delta) 함수로서 $M=N$ 이면 ${\delta }_{MN}=1$ 이고, $M\ne N$ 이면 ${\delta }_{MN}=0$ 이다.

 

 

다음은 르장드르 다항식의 계수를 구하는 매트랩 함수의 코드이다.

 

 

 

function lpoly = LegendrePoly(n)
%
% N-th order Legendre polynomials
% lpoly = LegendrePoly(n)
%
% input: order of Legendre polynomials
% output: polynomial coefficients
%
% coded by St.Watermelon
%
for ii=0:n
    if ii==0
        p{ii+1}=1;
    elseif ii==1
        p{ii+1}=[1 0];
    else
        p{ii+1}=(2*ii-1)/ii*[p{ii} 0]-(ii-1)/ii*[0 0 p{ii-1}];
    end
end
lpoly=p{n+1};