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유도항법제어/최적제어

변분법과 오일러-라그랑지 방정식

by 깊은대학 2021. 1. 12.

오일러-라그랑지 방정식(Euler-Lagrange equation)은 어떤 함수와 그 도함수(derivative)의 함수인 functional의 값을 최대화 또는 최소화하는 함수를 유도하기 위한 미분 방정식이다.

 

 

수식으로 살펴보자. 다음과 같은 functional F(y,y)가 있다고 하자.

 

F(y,y)=x0xfh(y(x),y(x)) dx

 

여기서 y(x)x의 함수이고, y(x)=dydxy(x)의 도함수이며, 적분 구간의 양쪽 경계 y(x0)y(xf)는 고정된 값으로 가정한다.

 

 

Functional F(y,y)를 최소화하는 함수 y(x)를 구하는 것이 문제다. 먼저 Functional F(y,y)의 변분 δF을 구해본다.

 

δF=F(y+δy,y+δy)F(y,y)=x0xf[h(y(x)+δy(x),y(x)+δy(x))h(y(x),y(x))] dx=x0xf(hyδy+hyδy) dx

 

위 식의 두 번째 적분항에 부분적분을 적용할 수 있다.

 

x0xfhyδy dx=x0xfhyddx(δy) dx=[hyδy]x0xfx0xfddx(hy)δy dx=x0xfddx(hy)δy dx

 

여기서 y(x)의 양쪽 경계 y(x0)y(xf)는 고정된 값으로 가정했기 때문에 경계에서 y(x)의 변분은 0이라는 사실을 이용했다. 따라서 변분 δF는 다음과 같이 된다.

 

δF=x0xf[hyddx(hy)] δy dx

 

변분법의 원리에 의하면 Functional F(y,y)이 (로컬) 최소값을 갖기 위한 필요조건은 δF=0 이므로, 위 식에서 적분 내부항은 항상 0이 되어야 한다.

 

hyddx(hy)=0

 

이 식을 오일러-라그랑지 방정식이라고 한다.

 

 

 

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