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유도항법제어/최적제어

[PSOC-1] 유사 스펙트럴 기반 최적제어 개요

by 세인트 워터멜론 2021. 12. 15.

대부분의 연속시간 최적제어 문제는 해석적으로 풀기가 매우 어렵기 때문에 수치적인 방법이 사용된다. 최적제어에 사용되는 두 가지 유형의 수치적 방법에는 간접방법(indirect method)과 직접방법(direct method)이 있다.

 

 

간접방법에서는, 우선 변분법(calculus of variation)을 사용하여 최적 필요조건을 유도한 후, 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary value problem) 또는 다중점 경계값 문제(MPBVP, multi-point boundary value problem)를 푼다. 이 방법의 주요 장점은 높은 정확도와 빠른 수렴이다.

그러나 몇 가지 단점이 있다. 첫째, 복잡한 제약 조건을 고려할 때, 필요한 조건에 대한 해석식을 도출하는 것이 쉽지 않다. 둘째, 그 결과 TPBVP/MPBVP는 민감도 문제로 인해 풀기가 어려울 수 있다. 셋째, 경로제약 부등식 문제에 대해서 반복계산(iteration) 방법을 시작하기 전에 제약 및 비제약 조건의 순서를 추측해야 한다.

 

 

이에 비해 직접방법에서는 최적 필요조건 대한 해석식이 필요 없고, 코스테이트(costate)의 초기 추측값도 필요 없다. 직접방법의 본질은 연속시간 최적제어 문제에서 상태변수와 제어입력을 이산화(discretization)시켜 비선형 프로그래밍 문제(nonlinear programming problem)로 바꾸는 것이다. 비선형 프로그래밍 문제 풀이를 위한 효율적인 알고리즘이 많이 있기 때문이다.

직접방법은 크게 콜로케이션 방법(collocation method), 미분삽입 방법(differential inclusion method), 유사 스펙트럴 방법(pseudospectral method) 등으로 나눌 수 있다.

유사 스펙트럴은 지난 10년 동안 최적제어 분야에서 널리 사용된 방법이다. 유사 스펙트럴 방법의 두 가지 핵심 속성은 콜로케이션 포인트(collocation point)와 보간점(interpolating point)을 이용하는데 있다. 콜로케이션 포인트에서는 제어(control)변수를 이산화하고 미분 방정식을 배치하여 동역학을 충족시킨다. 보간점에서는 비선형 프로그램에 적용되는 상태(state)를 이산화 한다. 따라서 상태 및 제어는 일련의 이산점에서 전역(global) 다항식을 사용하여 파라미터화 되고, 최적제어 문제가 비선형 프로그래밍 문제로 변환되는 것이다.

다음 글에서는 유사 스펙트럴 기반 최적제어 식을 유도하기 위한 수학적 배경 지식인 르장드르 다항식, 가우스 포인트, 라그랑지 보간 다항식, 가우시안 쿼드래처, 유사 스펙트럴 방법에 대해서 차례로 알아본다.

 

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