변분법과 오일러-라그랑지 방정식

오일러-라그랑지 방정식(Euler-Lagrange equation)은 어떤 함수와 그 도함수(derivative)의 함수인 functional의 값을 최대화 또는 최소화하는 함수를 유도하기 위한 미분 방정식이다.

 

 

수식으로 살펴보자. 다음과 같은 functional \(F(y, y^\prime)\)가 있다고 하자.

 

\[ F(y, y^\prime)= \int_{x_0}^{x_f} h(y(x), y^\prime (x)) \ dx \]

 

여기서 \(y(x)\)는 \(x\)의 함수이고, \(y^\prime (x)= \frac{dy}{dx}\)는 \(y(x)\)의 도함수이며, 적분 구간의 양쪽 경계 \(y(x_0)\)와 \(y(x_f)\)는 고정된 값으로 가정한다.

 

 

Functional \(F(y, y\prime)\)를 최소화하는 함수 \(y(x)\)를 구하는 것이 문제다. 먼저 Functional \(F(y, y\prime)\)의 변분 \(\delta F\)을 구해본다.

 

\[ \begin{align} \delta F &= F(y+\delta y, y^\prime+ \delta y^\prime )-F(y, y^\prime) \\ \\ &= \int_{x_0}^{x_f} \left[ h(y(x)+ \delta y(x), y^\prime (x)+ \delta y^\prime (x)) - h(y(x), y^\prime (x)) \right] \ dx \\ \\ &= \int_{x_0}^{x_f} \left( \frac{ \partial h}{ \partial y} \delta y + \frac{ \partial h}{ \partial y^\prime } \delta y^\prime \right) \ dx \end{align} \]

 

위 식의 두 번째 적분항에 부분적분을 적용할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \int_{x_0}^{x_f} \frac{ \partial h}{ \partial y^\prime } \delta y^\prime \ dx &= \int_{x_0}^{x_f} \frac{ \partial h}{ \partial y^\prime } \frac{d}{dx} (\delta y) \ dx \\ \\ &= \left[ \frac{ \partial h}{ \partial y^\prime} \delta y \right]_{x_0}^{x_f } - \int_{x_0}^{x_f} \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial h}{\partial y^\prime} \right) \delta y \ dx \\ \\ &= - \int_{x_0}^{x_f} \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial h}{\partial y^\prime} \right) \delta y \ dx \end{align} \]

 

여기서 \(y(x)\)의 양쪽 경계 \(y(x_0)\)와 \(y(x_f)\)는 고정된 값으로 가정했기 때문에 경계에서 \(y(x)\)의 변분은 \(0\)이라는 사실을 이용했다. 따라서 변분 \(\delta F\)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \delta F = \int_{x_0}^{x_f} \left[ \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial h}{\partial y^\prime} \right) \right] \ \delta y \ dx \]

 

변분법의 원리에 의하면 Functional \(F(y, y^\prime)\)이 (로컬) 최소값을 갖기 위한 필요조건은 \(\delta F=0\) 이므로, 위 식에서 적분 내부항은 항상 \(0\)이 되어야 한다.

 

\[ \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial h}{\partial y^\prime} \right) = 0 \]

 

이 식을 오일러-라그랑지 방정식이라고 한다.